Вычислить криволинейный интеграл
![\[
\oint\limits_L {(z - x)dx + (x + 2x)}
\] \[
\oint\limits_L {(z - x)dx + (x + 2x)}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/0/260ff66ddd31cfe8109b515640c9f5cb82.png)
по контуру
![\[
L:x^2 + y^2 + z^2 = 5,y = 1
\] \[
L:x^2 + y^2 + z^2 = 5,y = 1
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4b03e474b8b634f48a6fb94096584082.png)
, применяя формулу Стокса.
Вообщем, в чем у меня загвоздка:
по сути применяя формулу Стокса получаем:
![\[
\iint\limits_{\sum ^ + } {\left( {\frac{{\partial R}}
{{\partial y}} - \frac{{\partial Q}}
{{\partial z}}} \right)dydz + \left( {\frac{{\partial P}}
{{\partial z}} - \frac{{\partial R}}
{{\partial x}}} \right)dxdz + \left( {\frac{{\partial Q}}
{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}
{{\partial y}}} \right)dxdy}
\] \[
\iint\limits_{\sum ^ + } {\left( {\frac{{\partial R}}
{{\partial y}} - \frac{{\partial Q}}
{{\partial z}}} \right)dydz + \left( {\frac{{\partial P}}
{{\partial z}} - \frac{{\partial R}}
{{\partial x}}} \right)dxdz + \left( {\frac{{\partial Q}}
{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}
{{\partial y}}} \right)dxdy}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/8/2286e884facb4841707674715a06dcb482.png)
=
![\[
\iint\limits_{\sum ^ + } {dxdz + 2dxdy}
\] \[
\iint\limits_{\sum ^ + } {dxdz + 2dxdy}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/2/ec2b5c4b78eb66acf7e71488e360622382.png)
.Так вот,если вычислять интеграл, используя проекцию только на одну плоскость, например на XOZ,то нужно вычилсть так:
![\[
\iint {(P( - y_x^' ) + Q + R}( - y_z^' ))dxdz
\] \[
\iint {(P( - y_x^' ) + Q + R}( - y_z^' ))dxdz
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/f/19f8d799bca447a9e09ec4a399ae0cbb82.png)
.Тогда y брать как
![\[
y = \sqrt {5 - x^2 - z^2 }
\] \[
y = \sqrt {5 - x^2 - z^2 }
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/c/87cbf49039600b4efefd8c549394392d82.png)
или как y=1?.В первом случае получается, что исходный интеграл =
![\[
\iint {\left( {1 + \frac{{2z}}
{{\sqrt {5 - x^2 - z^2 } }}} \right)}dxdz
\],а во втором протенький интерал [math]\[
\iint {dxd}z = 4\pi
\] \[
\iint {\left( {1 + \frac{{2z}}
{{\sqrt {5 - x^2 - z^2 } }}} \right)}dxdz
\],а во втором протенький интерал [math]\[
\iint {dxd}z = 4\pi
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/e/bae27ba2f28cd7a902367bfaa134d6b982.png)
( если перейти в полярные коорлинаты)
[/math]