2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 формула Стокса
Сообщение31.10.2007, 19:11 
Вычислить криволинейный интеграл \[
\oint\limits_L {(z - x)dx + (x + 2x)} 
\] по контуру \[
L:x^2  + y^2  + z^2  = 5,y = 1
\], применяя формулу Стокса.
Вообщем, в чем у меня загвоздка:
по сути применяя формулу Стокса получаем:
\[
\iint\limits_{\sum ^ +  } {\left( {\frac{{\partial R}}
{{\partial y}} - \frac{{\partial Q}}
{{\partial z}}} \right)dydz + \left( {\frac{{\partial P}}
{{\partial z}} - \frac{{\partial R}}
{{\partial x}}} \right)dxdz + \left( {\frac{{\partial Q}}
{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}
{{\partial y}}} \right)dxdy}
\]=\[
\iint\limits_{\sum ^ +  } {dxdz + 2dxdy}
\].Так вот,если вычислять интеграл, используя проекцию только на одну плоскость, например на XOZ,то нужно вычилсть так:
\[
\iint {(P( - y_x^' ) + Q + R}( - y_z^' ))dxdz
\].Тогда y брать как \[
y = \sqrt {5 - x^2  - z^2 } 
\] или как y=1?.В первом случае получается, что исходный интеграл = \[
\iint {\left( {1 + \frac{{2z}}
{{\sqrt {5 - x^2  - z^2 } }}} \right)}dxdz
\],а во втором протенький интерал [math]\[
\iint {dxd}z = 4\pi 
\]( если перейти в полярные коорлинаты)
[/math]

 
 
 
 
Сообщение31.10.2007, 19:27 
Аватара пользователя
Вы можете выбрать любую удобную для вычислений кусочно-гладкую двустороннюю поверхность, границей которой является заданный контур. Вы же ничего не выбрали, не задали ориентацию контура, не согласовали ориентацию поверхности, накосячили с формулами...

 
 
 
 
Сообщение31.10.2007, 19:35 
Начнем с того что, речь идет даже не о поверхности, а о контуре.Далее, где это я накасячила с формулами?

 
 
 
 
Сообщение31.10.2007, 19:51 
Аватара пользователя
olga_helga писал(а):
Начнем с того что, речь идет даже не о поверхности, а о контуре
Тогда приведите полную формулировку теоремы о ф-ле Стокса.
olga_helga писал(а):
Далее, где это я накасячила с формулами?
Я и не говорил, что Вы накасячили, я писал "накосячили". Возможно, это у меня выпадает какая-то ошибка при открытии формул, но все-же проверьте их...

 
 
 
 
Сообщение31.10.2007, 20:04 
:) Ну полной формулировке Формулы Стокса \[
\sum 
\] - гладкая двусторонняя поверхность с краем L,выполняется равенство:
\[
\oint\limits_L {Pdx + Qdy + Rdz = \iint\limits_{\sum ^ +  } {\left( {\frac{{\partial R}}
{{\partial y}} - \frac{{\partial Q}}
{{\partial z}}} \right)dydz + \left( {\frac{{\partial P}}
{{\partial z}} - \frac{{\partial R}}
{{\partial x}}} \right)dxdz + \left( {\frac{{\partial Q}}
{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}
{{\partial y}}} \right)dxdy}} 
\].Так если использовать метод вычисления поверхностного интеграла 2 рода проецирования на одну координатную плоскость, т.е. \[
\iint {(P\cos \alpha  + Q\cos \beta  + R\cos \gamma )}d\sigma  =  \pm \iint\limits_{\sum _{XOZ} } {(P( - y_x^' ) + Q + R( - y_z^' ))dxdz}
\].Так вот для последнего вычисления я не могу разобраться использовать \[
y = \sqrt {5 - x^2  - z^2 } 
\] или y=1?

 
 
 
 
Сообщение31.10.2007, 20:11 
Аватара пользователя
olga_helga писал(а):
т.е.\[ \iint {(P\cos \alpha + Q\cos \beta + R\cos \gamma )}d\sigma = \pm \iint\limits_{\sum _{XOZ} } {(P( - y_x^' ) + Q + R( - y_z^' ))dxdz} \]
Вот это безобразие в формуле я и называю "накосячили". А выбрать Вы можете любую из поверхностей - какая Вам удобна, ту и берите.

 
 
 
 
Сообщение31.10.2007, 20:17 
:evil: У меня в MathType все в линию пишется, а сюда почему-то именно эта формула вставляется через одно место. Так если я беру y=1, это вообще говоря правильно и мне нужно будет вычеслить только интеграл \[
\iint {dxdz = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^R {rdr}  = 4\pi }
\], т.к. \[
y_x^'  = y_z^'  = 0
\].Так?

 
 
 
 
Сообщение31.10.2007, 20:31 
Аватара пользователя
olga_helga писал(а):
Так?
Так-то так, но на контуре не задана ориентация, а без этого может оказаться и не так :evil:

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group