Введение в теорию алгебраических чисел

[Феликс Шмидель]

В форуме "Великая Теорема Ферма", я опубликовал успешное доказательства ВТФ для $n=3$, используя однозначность разложения на простые множители в поле алгебраических чисел $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$.
Однозначность разложения на простые множители имеет место в поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ и для других значений $n$.
Я проверил это на компьютере для всех простых $n<50$.

Знание теории алгебраических чисел и свойств поля $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ может быть полезным в поиске доказательства ВТФ для более высоких степеней.
В связи с этим, я создал в упомянутом форуме тему, в которой предпринял попытку написать введение в теорию алгебраических чисел.
Эта тема является второй попыткой написать такое введение с учётом многочисленных исправлений.
Я буду заниматься этим в свободное время, без всяких обязательств по срокам написания.

[temp03]

ничего не получится, но пожелаю успеха!

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Свободный полёт» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Перенёс в соответствующий раздел

[Феликс Шмидель]

temp03 в сообщении #841579 писал(а):

ничего не получится, но пожелаю успеха!

Спасибо!

[Sonic86]

Феликс Шмидель в сообщении #841558 писал(а):

Однозначность разложения на простые множители имеет место в поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ и для других значений $n$.
Я проверил это на компьютере для всех простых $n<50$.

Вы это именно доказали? У Вас в старой теме есть доказательство? (а то она длинная)

[Феликс Шмидель]

Я не доказывал это, а проверил в программе gp/PARI.
Я писал об этом в теме: "ВТФ для любого простого показателя $n$":

Феликс Шмидель в сообщении #782997 писал(а):

Более того, оказывается для всех простых чисел $n<50$, все идеалы этого кольца являются главными.
Чтобы показать это, поработаем с математической компьютерной программой, которая называется gp/PARI.
Соберём данные о поле $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ командой:

A=bnfinit(x^n-2);

Теперь найдём число классов идеалов командой:

A.no

Для всех простых $n<50$ я получил ответ: 1!
Возможно, что это верно и для простых $n>50$, но я решил на этом остановиться, потому что приходилось долго ждать.

[Феликс Шмидель]

Начнём с основ теории групп и теории алгебраических чисел.
Группой называется множество $G$, на котором задана операция умножения, удовлетворяющая трём условиям:
1. $(ab)c=a(bc)$ (ассоциативность)
2. существует $e$, такой что $e a=a$ (существование левой единицы)
3. существует $a^{-1}$, такой что $a^{-1} a=e$ (cуществование левого обратного элемента)

Здесь $a$, $b$ и $c$ - произвольные элементы $G$, $e$ и $a^{-1}$ принадлежат $G$.

Докажем, что $a e=a$ и $a a^{-1}=e$, то есть левая единица является и правой единицей, а левый обратный элемент является и правым обратным элементом.
Действительно, из $xa=xb$ следует $a=b$ умножением слева на $x^{-1}$, поэтому из $a^{-1} a e=a^{-1} a$ следует $a e=a$.
Далее из $a^{-1} a a^{-1}=a^{-1} e$ следует $a a^{-1}=e$.
Теперь из $a x=b x$ следует $a=b$ умножением справа на $x^{-1}$.

Группа $G$ называется абелевой, если операция умножения коммутативна, то есть $a b=b a$ для любых $a$ и $b$ из $G$.

Множество $G$, удовлетворяющее только условию 1 (ассоциативности) называется полугруппой.
Вместо операции умножения в определении группы можно говорить об операции сложения.
В этом случае роль единицы играет 0.
Кольцом называется множество $G$, на котором заданы операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим условиям:
1. $G$ является абелевой группой по сложению.
2. $G$ является полугруппой по умножению.
3. В $G$ имеют место два дистрибутивных закона: $a(b+c)=ab+ac$ и $(b+c)a=ba+ca$.

Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным.
В этой теме мы будем рассматривать только коммутативные кольца.

Если существует единица по умножению (которая одновременно правая и левая), то говорят о кольце с единицей.
Полем называется коммутативное кольцо, в котором множество ненулевых элементов является группой по умножению, то есть в котором имеется единица и каждый ненулевой элемент обратим.

Например, $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ являются коммутативными кольцами, а $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ являются полями.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.
Тогда $G$ разбивается на подмножества вида $g A$, которые называются левыми смежными классами подгруппы $A$.
Левые смежные классы либо совпадают, либо не пересекаются.
Если $g_2^{-1} g_1 \in A$, то $g_1 A=g_2 A$.
Если же $g_2^{-1} g_1 \not \in A$, то $g_1 A$ и $g_2 A$ не имеют общих элементов.
Колличество левых смежных классов называется индексом подгруппы $A$ в группе $G$.
Порядком конечной группы называется колличество её элементов.
Порядок группы $G$ обозначается через $|G|$.
Если $A$ подгруппа конечной группы $G$, то из разбиения $G$ на левые смежные классы следует, что $|G|$ делится на $|A|$.
Вместо левых смежных классов можно рассматривать правые смежные классы вида $A g$.
Подгруппа $A$ называется нормальной, если $g A=A g$ для любого $g \in G$, то есть если левые смежные классы совпадают с правыми.
Условие $g A=A g$ можно также записать в виде $A=g^{-1} A g$.
Определим произведение левых смежных классов по правилу: $(g_1 A) (g_2 A)=(g_1 g_2) A$.
Если $A$ - нормальная подгруппа, то $(g_1 g_2) A$ является множеством всевозможных произведений $(g_1 a_1) (g_2 a_2)$, где $a_1, a_2 \in A$.
Смежные классы нормальной подгруппы образуют группу по умножению, которая называется фактор группой и обозначается $G/A$.
Роль единицы в фактор группе $G/A$ играет сама подгруппа $A$.
В абелевой группе любая подгруппа - нормальная.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Для того, чтобы непустое подмножество $A$ группы $G$ было подгруппой необходимо и достаточно, чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало также и $a^{-1} b$.
Если $A$ - конечное подмножество группы $G$, достаточно чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало их произведение $ab$.
Чтобы доказать это, возьмём какой-нибудь $a \in A$ и рассмотрим множество произведений $a x$, где $x$ пробегает все элементы $A$.
Cреди этих произведений нет равных, поэтому $a x$ пробегает все элементы $A$.
В частности, $a x=a$ при некотором $x$, откуда $x=e$, то есть единица принадлежит $A$, и из $a x=e$ следует, что $a^{-1}$ принадлежит $A$.
Поэтому $A$ - подгруппа.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Группа называется циклической, если в ней есть такой элемент $g$, что все остальные элементы являются его степенями $g^m$, где $m$ - целые числа.
Если $g$ - какой-либо элемент группы (не обязательно циклической), то степени $g$ образуют циклическую подгруппу.
Если эта подгруппа конечна, то существует минимальное целое положительное число $m$, такое, что $g^m=e$.
Элементами подгруппы являются: $e$, $g$, $g^2$, ..., $g^{m-1}$ (в силу минимальности $m$, среди них нет равных).
Число $m$ называется порядком элемента $g$.
Таким образом, порядок элемента $g$ равен порядку циклической подгруппы, генерируемой этим элементом.

Группа называется тривиальной, если она состоит из одного единичного элемента.
Тривиальная группа является циклической группой порядка 1.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Тогда в $G$ cуществует элемент, порядок которого делится на $p$.
Чтобы доказать это, предположим обратное, и пусть $G$ - такая группа наименьшего порядка, в которой нет такого элемента.
Возьмём какой-либо элемент $g$, отличный от $e$, и пусть $H$ - циклическая подгруппа генерируемая этим элементом.
Согласно предположению, порядок $H$ не делится на $p$, поэтому порядок фактор группы $G/H$ делится на $p$.
Поскольку порядок этой фактор группы меньше порядка $G$, то согласно предположению в $G/H$ есть элемент $aH$, порядок которого делится на $p$.
Тогда порядок элемента $a$ делится на $p$ (поскольку он делится на порядок смежного класса $aH$), что противоречит тому, что такого элемента нет.

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Мы доказали, что в $G$ cуществует элемент, порядок которого делится на $p$.
Из этого следует, что существует элемент, порядок которого равен $p$.
В самом деле, если $p m$ - порядок элемента $g$, то порядок элемента $g^m$ равен $p$.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Пусть $H$ - множество всех элементов этой группы, порядок которых является степенью $p$.
Множество $H$ является подгруппой группы $G$.
Докажем, что порядок фактор группы $G/H$ не делится на $p$.
Предположим обратное, что $|G/H|$ делится на $p$.
Тогда в $G/H$ существует элемент $aH$ порядка $p$, где $a$ не принадлежит $H$.
Поскольку $a^p$ принадлежит $H$, то порядок $a$ является степенью $p$.
Это противоречит тому, что $a$ не принадлежит $H$.

Таким образом, порядок $H$ равен наибольшей степени $p$, на которую делится порядок $G$.

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$, и $p^k$ наибольшая степень $p$, на которую делится этот порядок.

Мы доказали, что существует подгруппа $H$ порядка $p^k$.
Поскольку подгруппа $H$ включает все элементы, порядок которых является степенью $p$, то она является единственной подгруппой порядка $p^k$.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Абелева группа $G$ называется прямым произведением подгрупп $H_1$, ..., $H_m$, если любой элемент $g$ группы $G$ однозначно представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.

Произведение подгрупп $H_1$...$H_m$ является прямым произведением тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

1) Пусть $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$. Тогда из $h_1...h_m=e$ следует $h_1=e$,...,$h_m=e$.

Из этого условия следует:

Любые две из этих подгрупп не имеют общих элементов, кроме единицы $e$.
Все произведения вида $h_1...h_m$ различны.

Пусть $G$ - конечная абелева группа и $|G|=p_1^k_1...p_m^k_m$, где $p_1$, ..., $p_m$ - различные простые числа.
Пусть $H_1$, ..., $H_m$ -подгруппы порядка $p_1^k_1$, ..., $p_m^k_m$.
Мы доказали, что эти подгруппы определены однозначно.
Для них выполняется условие 1).
Произведение этих подгрупп содержит $|G|=p_1^k_1...p_m^k_m$ элементов.
Поэтому $G$ является прямым произведением подгрупп $H_1, ..., H_m$, и любой элемент $g$ группы $G$ однозначно представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.

-------------------------------------------------------------------------------------------
Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются независимыми, если из $a_1^k_1...a_1^k_n=e$ следует $a_1^k_1=e$, ..., $a_n^k_n=e$, для любых целых чисел $k_1$, ..., $k_n$.
Пусть $A_1$, ..., $A_n$ - циклические подгруппы, генерируемые элементами $a_1$, ..., $a_n$.
Произведение подгрупп $A_1...A_n$ является их прямым произведением тогда и только тогда, когда $a_1$, ..., $a_n$ независимы.
Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются её базисом, если они независимы, отличны от единицы $e$, и $G$ является произведением циклических подгрупп, генерируемых этими элементами: $G=A_1...A_n$.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.
Тогда $H$ представима в виде прямого произведения нетривиальных циклических подгрупп.
Чтобы доказать это предположим обратное, и пусть $H$ -конечная абелева группа наименьшего порядка $p^k$, не представимая в виде прямого произведения нетривиальных циклических подгрупп.

Выберем в $H$ элемент $g$ наибольшего порядка, генерирующий циклическую подгруппу $C$.

Пусть $a$ - какой-либо элемент группы $H$, не принадлежащий подгруппе $C$.
Пусть $v$ - порядок смежного класса $a C$ в фактор группе $H/C$.
Покажем, что можно выбрать такой элемент $b \in a C$, что $b^v=e$.
Если $a^v=e$ положим $b=a$.
Пусть $a^v\neq e$, $a^v=g^n$, где $n$ - целое положительное число.
Пусть $n=n_1 n_2$, где $n_1$ не делится на $p$, а $n_2$ является степенью $p$.
Тогда порядок $a^v$ в $C$ равен $|C|/n_2$, следовательно порядок $a$ в $H$ равен $v |C|/n_2$.
В силу максимальности $|C|$ имеем: $v |C|/n_2\leq |C|$, откуда $v\leq n_2$.
Поскольку $v$ и $n_2$ являются степенями $p$, то $n_2$ делится на $v$, значит и $n$ делится на $v$.
Пусть $b=a g^{-n/v}$.
Тогда $b^v=a^v g^{-n}=g^n g^{-n}=e$, что и требовалось.

Поскольку $b^v=e$, то циклическая подгруппа группы $H$, генерированная элементом $b$ не имеет с $C$ общих элементов, кроме $e$.

В силу минимальности порядка $H$, фактор группа $H/C$ является прямым произведением циклических подгрупп, генерируемых элементами $b_1 C$, ..., $b_m C$, где элементы $b_1$, ..., $b_m$ не принадлежат $C$ и выбраны так, что генерируемые ими циклические подгруппы (группы $H$) не имеют с $C$ общих элементов, кроме $e$.
Пусть $A_1$, ..., $A_m$ - эти циклические подгруппы, генерируемые элементами $b_1$, ..., $b_m$.
Для любых элементов $a_1 \in A_1$, ..., $a_m \in A_m$: если $(a_1 C)...(a_m C)=C$, то $a_1 C=C$, ..., $a_m C=C$, следовательно $a_1$, ..., $a_m$ принадлежат $C$, значит равны $e$.
Поэтому, для любых элементов $a_1 \in A_1$, ..., $a_m \in A_m$ и любого элемента $c \in C$: если $a_1...a_m c=e$, то $(a_1 C)...(a_m C)=c^{-1}C=C$, значит $a_1=e$, ...,$a_m=e$, значит и $c=e$.

Следовательно, группа $H$ является прямым произведением циклических подгрупп $A_1$, ..., $A_m$ и $C$, что противоречит предположению.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.
Пусть $H$ является прямым произведением нетривиальных циклических подгрупп $A_1$, ..., $A_m$.
Подгруппы $A_1$, ..., $A_m$ не определяются однозначно группой $H$.
Однако их колличество и порядки определены однозначно с точностью до перестановки.
В частности, $p^m$ равно числу элементов группы $H$, имеющих порядок $p$ (включая в это число единицу $e$, хотя её порядок не равен $p$).
В самом деле, если $(a_1...a_m)^p=e$, где $a_1 \in A_1$, ..., $a_m \in A_m$, то $a_1^p=e$, ..., $a_m^p=e$ в силу независимости элементов $a_1^p$, ...,$a_m^p$.
Поскольку в каждой из циклических подгрупп имеется ровно $p$ элементов порядка $p$ (включяя $e$), то колличество произведений $a_1...a_m$ порядка $p$ (включяя $e$) равно $p^m$.

Пусть теперь $H=A_1...A_m=B_1...B_m$ - два разложения группы $H$ в прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп, расположенных в порядке убывания их порядков, то есть $|A_1|\geq...\geq |A_m|$ и $|B_1|\geq...\geq |B_m|$.

Тогда $|A_1|=|B_1$|, ..., $|A_m|=|B_m|$.

Для доказательства этого предположим обратное, и пусть $H$ - абелева группа наименьшего порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число, для которой это неверно.

Для любой абелевой группы $G$ обозначим $G^{(p)}$ множество элементов вида $g^p$, где $g \in G$.
Множество $G^{(p)}$ является подгруппой группы $G$.
Если $G$ - циклическая группа порядка $p^v$, где $v$ - целое положительное число, то $G^{(p)}$ - циклическая группа порядка $p^{v-1}$.

Имеем: $H^{(p)}=A_1^{(p)}...A_m^{(p)}=B_1^{(p)}...B_m^{(p)}$ - два разложения группы $H^{(p)}$ в прямое произведение циклических подгрупп, расположенных в порядке убывания их порядков.
Среди циклических подгрупп $A_1^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и $B_1^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$ могут быть тривиальные, но колличество нетривиальных подгрупп одинаково среди $A_1^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и среди $B_1^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$.
Обозначим это колличество через $n$.
Если $n<m$, то все подгруппы $A_{n+1}^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и $B_{n+1}^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$ - тривиальные, откуда все циклические подгруппы $A_{n+1}$, ..., $A_m$ и $B_{n+1}$, ..., $B_m$ имеют одинаковый порядок $p$.
Если $n=0$, то это противоречит предположению.
Пусть $n>0$.
Поскольку $|H^{(p)}|<|H|$, то ввиду минимальности порядка группы $H$ имеем: $|A_1^{(p)}|=|B_1^{(p)}|$, ..., $|A_n^{(p)}|=|B_n^{(p)}|$, откуда $|A_1|=|B_1|$, ..., $|A_n|=|B_n|$.
Значит $|A_1|=|B_1|$, ..., $|A_m|=|B_m|$, что противоречит предположению.

[Xaositect]

"Количество" пишется с одной 'л' (во многих местах ошибка).

Феликс Шмидель в сообщении #842695 писал(а):

Пусть $G$ - конечная абелева группа и $|G|=p_1^k_1...p_m^k_m$, где $p_1$, ..., $p_m$ - различные простые числа.
Пусть $H_1$, ..., $H_m$ -подгруппы порядка $p_1^k_1$, ..., $p_m^k_m$.
Мы доказали, что эти подгруппы определены однозначно.
Для них выполняется условие 1).
Произведение этих подгрупп содержит $|G|=p_1^k_1...p_m^k_m$ элементов.

Феликс Шмидель в сообщении #842695 писал(а):

Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются независимыми, если из $a_1^k_1...a_1^k_n=e$ следует $a_1^k_1=e$, ..., $a_n^k_n=e$, для любых целых чисел $k_1$, ..., $k_n$.

Опечатки с индексами.

Феликс Шмидель в сообщении #842695 писал(а):

В частности, $p^m$ равно числу элементов группы $H$, имеющих порядок $p$ (включая в это число единицу $e$, хотя её порядок не равен $p$).

Некрасиво сформулировано.

С математикой все хорошо.

[Феликс Шмидель]

Большое спасибо! Я исправлю это в следующей редакции.

Однако, я вижу только одну опечатку с индексами: вместо $a_1^k_1...a_1^k_n=e$ должно быть $a_1^k_1...a_n^k_n=e$. Есть ещё?

[Xaositect]

Должно быть $a_1^{k_1}\dots a_n^{k_n} = e$. Сравните: $a_1^k_1\dots a_n^k_n \quad a_1^{k_1}\dots a_n^{k_n}$

[Феликс Шмидель]

Мне всегда это не нравилось, но я не знал, как исправить.
Очень благодарен, что показали.

[Феликс Шмидель]

Исправление
------------------

Цитата:

Определим произведение левых смежных классов по правилу: $(g_1 A) (g_2 A)=(g_1 g_2) A$.
Если $A$ - нормальная подгруппа, то $(g_1 g_2) A$ является множеством всевозможных произведений $(g_1 a_1) (g_2 a_2)$, где $a_1, a_2 \in A$.

исправляется на:

Пусть $A$ - нормальная подгруппа группы $G$.
Определим произведение смежных классов по правилу: $(g_1 A) (g_2 A)=(g_1 g_2) A$.
Это определение корректно, так как различные выборы элементов $g_1$ и $g_2$ соответственно из первого и второго смежных классов дают один и тот же смежный класс $(g_1 g_2) A$.

[Феликс Шмидель]

Внесём вышеуказанные исправления.

Начнём с основ теории групп и теории алгебраических чисел.

Группой называется множество $G$, на котором задана операция умножения, удовлетворяющая трём условиям:
1. $(ab)c=a(bc)$ (ассоциативность)
2. существует $e$, такой что $e a=a$ (существование левой единицы)
3. существует $a^{-1}$, такой что $a^{-1} a=e$ (cуществование левого обратного элемента)

Здесь $a$, $b$ и $c$ - произвольные элементы $G$, $e$ и $a^{-1}$ принадлежат $G$.

Докажем, что $a e=a$ и $a a^{-1}=e$, то есть левая единица является и правой единицей, а левый обратный элемент является и правым обратным элементом.
Действительно, из $xa=xb$ следует $a=b$ умножением слева на $x^{-1}$, поэтому из $a^{-1} a e=a^{-1} a$ следует $a e=a$.
Далее из $a^{-1} a a^{-1}=a^{-1} e$ следует $a a^{-1}=e$.
Теперь из $a x=b x$ следует $a=b$ умножением справа на $x^{-1}$.

Группа $G$ называется абелевой, если операция умножения коммутативна, то есть $a b=b a$ для любых $a$ и $b$ из $G$.

Множество $G$, удовлетворяющее только условию 1 (ассоциативности) называется полугруппой.
Вместо операции умножения в определении группы можно говорить об операции сложения.
В этом случае роль единицы играет 0.
Кольцом называется множество $G$, на котором заданы операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим условиям:
1. $G$ является абелевой группой по сложению.
2. $G$ является полугруппой по умножению.
3. В $G$ имеют место два дистрибутивных закона: $a(b+c)=ab+ac$ и $(b+c)a=ba+ca$.

Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным.
В этой теме мы будем рассматривать только коммутативные кольца.

Если существует единица по умножению (которая одновременно правая и левая), то говорят о кольце с единицей.
Полем называется коммутативное кольцо, в котором множество ненулевых элементов является группой по умножению, то есть в котором имеется единица и каждый ненулевой элемент обратим.

Например, $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ являются коммутативными кольцами, а $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ являются полями.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.
Тогда $G$ разбивается на подмножества вида $g A$, которые называются левыми смежными классами подгруппы $A$.
Левые смежные классы либо совпадают, либо не пересекаются.
Если $g_2^{-1} g_1 \in A$, то $g_1 A=g_2 A$.
Если же $g_2^{-1} g_1 \not \in A$, то $g_1 A$ и $g_2 A$ не имеют общих элементов.
Количество левых смежных классов называется индексом подгруппы $A$ в группе $G$.
Порядком конечной группы называется количество её элементов.
Порядок группы $G$ обозначается через $|G|$.
Если $A$ подгруппа конечной группы $G$, то из разбиения $G$ на левые смежные классы следует, что $|G|$ делится на $|A|$.
Вместо левых смежных классов можно рассматривать правые смежные классы вида $A g$.
Подгруппа $A$ называется нормальной, если $g A=A g$ для любого $g \in G$, то есть если левые смежные классы совпадают с правыми.
Условие $g A=A g$ можно также записать в виде $A=g^{-1} A g$.
Пусть $A$ - нормальная подгруппа группы $G$.
Определим произведение смежных классов по правилу: $(g_1 A) (g_2 A)=(g_1 g_2) A$.
Это определение корректно, так как различные выборы элементов $g_1$ и $g_2$ соответственно из первого и второго смежных классов дают один и тот же смежный класс $(g_1 g_2) A$.
Смежные классы нормальной подгруппы образуют группу по умножению, которая называется фактор группой и обозначается $G/A$.
Роль единицы в фактор группе $G/A$ играет сама подгруппа $A$.
В абелевой группе любая подгруппа - нормальная.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Для того, чтобы непустое подмножество $A$ группы $G$ было подгруппой необходимо и достаточно, чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало также и $a^{-1} b$.
Если $A$ - конечное подмножество группы $G$, достаточно чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало их произведение $ab$.
Чтобы доказать это, возьмём какой-нибудь $a \in A$ и рассмотрим множество произведений $a x$, где $x$ пробегает все элементы $A$.
Cреди этих произведений нет равных, поэтому $a x$ пробегает все элементы $A$.
В частности, $a x=a$ при некотором $x$, откуда $x=e$, то есть единица принадлежит $A$, и из $a x=e$ следует, что $a^{-1}$ принадлежит $A$.
Поэтому $A$ - подгруппа.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Группа называется циклической, если в ней есть такой элемент $g$, что все остальные элементы являются его степенями $g^m$, где $m$ - целые числа.
Если $g$ - какой-либо элемент группы (не обязательно циклической), то степени $g$ образуют циклическую подгруппу.
Если эта подгруппа конечна, то существует минимальное целое положительное число $m$, такое, что $g^m=e$.
Элементами подгруппы являются: $e$, $g$, $g^2$, ..., $g^{m-1}$ (в силу минимальности $m$, среди них нет равных).
Число $m$ называется порядком элемента $g$.
Таким образом, порядок элемента $g$ равен порядку циклической подгруппы, генерируемой этим элементом.

Группа называется тривиальной, если она состоит из одного единичного элемента.
Тривиальная группа является циклической группой порядка 1.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Тогда в $G$ cуществует элемент, порядок которого делится на $p$.
Чтобы доказать это, предположим обратное, и пусть $G$ - такая группа наименьшего порядка, в которой нет такого элемента.
Возьмём какой-либо элемент $g$, отличный от $e$, и пусть $H$ - циклическая подгруппа генерируемая этим элементом.
Согласно предположению, порядок $H$ не делится на $p$, поэтому порядок фактор группы $G/H$ делится на $p$.
Поскольку порядок этой фактор группы меньше порядка $G$, то согласно предположению в $G/H$ есть элемент $aH$, порядок которого делится на $p$.
Тогда порядок элемента $a$ делится на $p$ (поскольку он делится на порядок смежного класса $aH$), что противоречит тому, что такого элемента нет.

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Мы доказали, что в $G$ cуществует элемент, порядок которого делится на $p$.
Из этого следует, что существует элемент, порядок которого равен $p$.
В самом деле, если $p m$ - порядок элемента $g$, то порядок элемента $g^m$ равен $p$.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Пусть $H$ - множество всех элементов этой группы, порядок которых является степенью $p$.
Множество $H$ является подгруппой группы $G$.
Докажем, что порядок фактор группы $G/H$ не делится на $p$.
Предположим обратное, что $|G/H|$ делится на $p$.
Тогда в $G/H$ существует элемент $aH$ порядка $p$, где $a$ не принадлежит $H$.
Поскольку $a^p$ принадлежит $H$, то порядок $a$ является степенью $p$.
Это противоречит тому, что $a$ не принадлежит $H$.

Таким образом, порядок $H$ равен наибольшей степени $p$, на которую делится порядок $G$.

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$, и $p^k$ наибольшая степень $p$, на которую делится этот порядок.

Мы доказали, что существует подгруппа $H$ порядка $p^k$.
Поскольку подгруппа $H$ включает все элементы, порядок которых является степенью $p$, то она является единственной подгруппой порядка $p^k$.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Абелева группа $G$ называется прямым произведением подгрупп $H_1$, ..., $H_m$, если любой элемент $g$ группы $G$ однозначно представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.

Произведение подгрупп $H_1$...$H_m$ является прямым произведением тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

(1) Пусть $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$. Тогда из $h_1...h_m=e$ следует $h_1=e$,...,$h_m=e$.

Из этого условия следует:

Любые две из этих подгрупп не имеют общих элементов, кроме единицы $e$.
Все произведения вида $h_1...h_m$ различны.

Пусть $G$ - конечная абелева группа и $|G|=p_1^{k_1}...p_m^{k_m}$, где $p_1$, ..., $p_m$ - различные простые числа.
Пусть $H_1$, ..., $H_m$ -подгруппы порядка $p_1^{k_1}$, ..., $p_m^{k_m}$.
Мы доказали, что эти подгруппы определены однозначно.
Для них выполняется условие 1).
Произведение этих подгрупп содержит $|G|=p_1^{k_1}...p_m^{k_m}$ элементов.
Поэтому $G$ является прямым произведением подгрупп $H_1, ..., H_m$, и любой элемент $g$ группы $G$ однозначно представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.

-------------------------------------------------------------------------------------------
Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются независимыми, если из $a_1^{k_1}...a_1^{k_n}=e$ следует $a_1^{k_1}=e$, ..., $a_n^{k_n}=e$, для любых целых чисел $k_1$, ..., $k_n$.
Пусть $A_1$, ..., $A_n$ - циклические подгруппы, генерируемые элементами $a_1$, ..., $a_n$.
Произведение подгрупп $A_1...A_n$ является их прямым произведением тогда и только тогда, когда $a_1$, ..., $a_n$ независимы.
Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются её базисом, если они независимы, отличны от единицы $e$, и $G$ является произведением циклических подгрупп, генерируемых этими элементами: $G=A_1...A_n$.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.
Тогда $H$ представима в виде прямого произведения нетривиальных циклических подгрупп.
Чтобы доказать это предположим обратное, и пусть $H$ -конечная абелева группа наименьшего порядка $p^k$, не представимая в виде прямого произведения нетривиальных циклических подгрупп.

Выберем в $H$ элемент $g$ наибольшего порядка, генерирующий циклическую подгруппу $C$.

Пусть $a$ - какой-либо элемент группы $H$, не принадлежащий подгруппе $C$.
Пусть $v$ - порядок смежного класса $a C$ в фактор группе $H/C$.
Покажем, что можно выбрать такой элемент $b \in a C$, что $b^v=e$.
Если $a^v=e$ положим $b=a$.
Пусть $a^v\neq e$, $a^v=g^n$, где $n$ - целое положительное число.
Пусть $n=n_1 n_2$, где $n_1$ не делится на $p$, а $n_2$ является степенью $p$.
Тогда порядок $a^v$ в $C$ равен $|C|/n_2$, следовательно порядок $a$ в $H$ равен $v |C|/n_2$.
В силу максимальности $|C|$ имеем: $v |C|/n_2\leq |C|$, откуда $v\leq n_2$.
Поскольку $v$ и $n_2$ являются степенями $p$, то $n_2$ делится на $v$, значит и $n$ делится на $v$.
Пусть $b=a g^{-n/v}$.
Тогда $b^v=a^v g^{-n}=g^n g^{-n}=e$, что и требовалось.

Поскольку $b^v=e$, то циклическая подгруппа группы $H$, генерированная элементом $b$ не имеет с $C$ общих элементов, кроме $e$.

В силу минимальности порядка $H$, фактор группа $H/C$ является прямым произведением циклических подгрупп, генерируемых элементами $b_1 C$, ..., $b_m C$, где элементы $b_1$, ..., $b_m$ не принадлежат $C$ и выбраны так, что генерируемые ими циклические подгруппы (группы $H$) не имеют с $C$ общих элементов, кроме $e$.
Пусть $A_1$, ..., $A_m$ - эти циклические подгруппы, генерируемые элементами $b_1$, ..., $b_m$.
Для любых элементов $a_1 \in A_1$, ..., $a_m \in A_m$: если $(a_1 C)...(a_m C)=C$, то $a_1 C=C$, ..., $a_m C=C$, следовательно $a_1$, ..., $a_m$ принадлежат $C$, значит равны $e$.
Поэтому, для любых элементов $a_1 \in A_1$, ..., $a_m \in A_m$ и любого элемента $c \in C$: если $a_1...a_m c=e$, то $(a_1 C)...(a_m C)=c^{-1}C=C$, значит $a_1=e$, ...,$a_m=e$, значит и $c=e$.

Следовательно, группа $H$ является прямым произведением циклических подгрупп $A_1$, ..., $A_m$ и $C$, что противоречит предположению.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.
Пусть $H$ является прямым произведением нетривиальных циклических подгрупп $A_1$, ..., $A_m$.
Подгруппы $A_1$, ..., $A_m$ не определяются однозначно группой $H$.
Однако их количество и порядки определены однозначно с точностью до перестановки.
В частности, $p^m$ равно числу таких элементов $x$ группы $H$, что $x^p=e$.
В самом деле, если $(a_1...a_m)^p=e$, где $a_1 \in A_1$, ..., $a_m \in A_m$, то $a_1^p=e$, ..., $a_m^p=e$ в силу условия (1) прямого произведения.
Поскольку в каждой из циклических подгрупп $A_i$ имеется ровно $p$ таких элементов $x$, что $x^p=e$ , то количество таких произведений $a_1...a_m$, что $(a_1...a_m)^p=e$ равно $p^m$.

Пусть теперь $H=A_1...A_m=B_1...B_m$ - два разложения группы $H$ в прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп, расположенных в порядке убывания их порядков, то есть $|A_1|\geq...\geq |A_m|$ и $|B_1|\geq...\geq |B_m|$.

Тогда $|A_1|=|B_1$|, ..., $|A_m|=|B_m|$.

Для доказательства этого предположим обратное, и пусть $H$ - абелева группа наименьшего порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число, для которой это неверно.

Для любой абелевой группы $G$ обозначим $G^{(p)}$ множество элементов вида $g^p$, где $g \in G$.
Множество $G^{(p)}$ является подгруппой группы $G$.
Если $G$ - циклическая группа порядка $p^v$, где $v$ - целое положительное число, то $G^{(p)}$ - циклическая группа порядка $p^{v-1}$.

Имеем: $H^{(p)}=A_1^{(p)}...A_m^{(p)}=B_1^{(p)}...B_m^{(p)}$ - два разложения группы $H^{(p)}$ в прямое произведение циклических подгрупп, расположенных в порядке убывания их порядков.
Среди циклических подгрупп $A_1^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и $B_1^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$ могут быть тривиальные, но количество нетривиальных подгрупп одинаково среди $A_1^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и среди $B_1^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$.
Обозначим это количество через $n$.
Если $n<m$, то все подгруппы $A_{n+1}^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и $B_{n+1}^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$ - тривиальные, откуда все циклические подгруппы $A_{n+1}$, ..., $A_m$ и $B_{n+1}$, ..., $B_m$ имеют одинаковый порядок $p$.
Если $n=0$, то это противоречит предположению.
Пусть $n>0$.
Поскольку $|H^{(p)}|<|H|$, то ввиду минимальности порядка группы $H$ имеем: $|A_1^{(p)}|=|B_1^{(p)}|$, ..., $|A_n^{(p)}|=|B_n^{(p)}|$, откуда $|A_1|=|B_1|$, ..., $|A_n|=|B_n|$.
Значит $|A_1|=|B_1|$, ..., $|A_m|=|B_m|$, что противоречит предположению.

[Феликс Шмидель]

Среди независимых элементов не должно быть $e$.

Исправление
------------------

Цитата:

Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются независимыми, если из $a_1^{k_1}...a_1^{k_n}=e$ следует $a_1^{k_1}=e$, ..., $a_n^{k_n}=e$, для любых целых чисел $k_1$, ..., $k_n$.
Пусть $A_1$, ..., $A_n$ - циклические подгруппы, генерируемые элементами $a_1$, ..., $a_n$.
Произведение подгрупп $A_1...A_n$ является их прямым произведением тогда и только тогда, когда $a_1$, ..., $a_n$ независимы.
Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются её базисом, если они независимы, отличны от единицы $e$, и $G$ является произведением циклических подгрупп, генерируемых этими элементами: $G=A_1...A_n$.

Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются независимыми, если они отличны от $e$, и из $a_1^{k_1}...a_1^{k_n}=e$ следует $a_1^{k_1}=e$, ..., $a_n^{k_n}=e$, для любых целых чисел $k_1$, ..., $k_n$.
Пусть $A_1$, ..., $A_n$ - нетривиальные циклические подгруппы, генерируемые элементами $a_1$, ..., $a_n$.
Произведение подгрупп $A_1...A_n$ является их прямым произведением тогда и только тогда, когда $a_1$, ..., $a_n$ независимы.
Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются её базисом, если они независимы, и $G$ является произведением циклических подгрупп, генерируемых этими элементами: $G=A_1...A_n$.

[Феликс Шмидель]

Внесём это исправление.

Начнём с основ теории групп и теории алгебраических чисел.

Группой называется множество $G$, на котором задана операция умножения, удовлетворяющая трём условиям:
1. $(ab)c=a(bc)$ (ассоциативность)
2. существует $e$, такой что $e a=a$ (существование левой единицы)
3. существует $a^{-1}$, такой что $a^{-1} a=e$ (cуществование левого обратного элемента)

Здесь $a$, $b$ и $c$ - произвольные элементы $G$, $e$ и $a^{-1}$ принадлежат $G$.

Докажем, что $a e=a$ и $a a^{-1}=e$, то есть левая единица является и правой единицей, а левый обратный элемент является и правым обратным элементом.
Действительно, из $xa=xb$ следует $a=b$ умножением слева на $x^{-1}$, поэтому из $a^{-1} a e=a^{-1} a$ следует $a e=a$.
Далее из $a^{-1} a a^{-1}=a^{-1} e$ следует $a a^{-1}=e$.
Теперь из $a x=b x$ следует $a=b$ умножением справа на $x^{-1}$.

Группа $G$ называется абелевой, если операция умножения коммутативна, то есть $a b=b a$ для любых $a$ и $b$ из $G$.

Множество $G$, удовлетворяющее только условию 1 (ассоциативности) называется полугруппой.
Вместо операции умножения в определении группы можно говорить об операции сложения.
В этом случае роль единицы играет 0.
Кольцом называется множество $G$, на котором заданы операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим условиям:
1. $G$ является абелевой группой по сложению.
2. $G$ является полугруппой по умножению.
3. В $G$ имеют место два дистрибутивных закона: $a(b+c)=ab+ac$ и $(b+c)a=ba+ca$.

Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным.
В этой теме мы будем рассматривать только коммутативные кольца.

Если существует единица по умножению (которая одновременно правая и левая), то говорят о кольце с единицей.
Полем называется коммутативное кольцо, в котором множество ненулевых элементов является группой по умножению, то есть в котором имеется единица и каждый ненулевой элемент обратим.

Например, $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$ являются коммутативными кольцами, а $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ являются полями.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $A$ - подгруппа группы $G$.
Тогда $G$ разбивается на подмножества вида $g A$, которые называются левыми смежными классами подгруппы $A$.
Левые смежные классы либо совпадают, либо не пересекаются.
Если $g_2^{-1} g_1 \in A$, то $g_1 A=g_2 A$.
Если же $g_2^{-1} g_1 \not \in A$, то $g_1 A$ и $g_2 A$ не имеют общих элементов.
Количество левых смежных классов называется индексом подгруппы $A$ в группе $G$.
Порядком конечной группы называется количество её элементов.
Порядок группы $G$ обозначается через $|G|$.
Если $A$ подгруппа конечной группы $G$, то из разбиения $G$ на левые смежные классы следует, что $|G|$ делится на $|A|$.
Вместо левых смежных классов можно рассматривать правые смежные классы вида $A g$.
Подгруппа $A$ называется нормальной, если $g A=A g$ для любого $g \in G$, то есть если левые смежные классы совпадают с правыми.
Условие $g A=A g$ можно также записать в виде $A=g^{-1} A g$.
Пусть $A$ - нормальная подгруппа группы $G$.
Определим произведение смежных классов по правилу: $(g_1 A) (g_2 A)=(g_1 g_2) A$.
Это определение корректно, так как различные выборы элементов $g_1$ и $g_2$ соответственно из первого и второго смежных классов дают один и тот же смежный класс $(g_1 g_2) A$.
Смежные классы нормальной подгруппы образуют группу по умножению, которая называется фактор группой и обозначается $G/A$.
Роль единицы в фактор группе $G/A$ играет сама подгруппа $A$.
В абелевой группе любая подгруппа - нормальная.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Для того, чтобы непустое подмножество $A$ группы $G$ было подгруппой необходимо и достаточно, чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало также и $a^{-1} b$.
Если $A$ - конечное подмножество группы $G$, достаточно чтобы вместе с любыми двумя элементами $a$ и $b$, $A$ содержало их произведение $ab$.
Чтобы доказать это, возьмём какой-нибудь $a \in A$ и рассмотрим множество произведений $a x$, где $x$ пробегает все элементы $A$.
Cреди этих произведений нет равных, поэтому $a x$ пробегает все элементы $A$.
В частности, $a x=a$ при некотором $x$, откуда $x=e$, то есть единица принадлежит $A$, и из $a x=e$ следует, что $a^{-1}$ принадлежит $A$.
Поэтому $A$ - подгруппа.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Группа называется циклической, если в ней есть такой элемент $g$, что все остальные элементы являются его степенями $g^m$, где $m$ - целые числа.
Если $g$ - какой-либо элемент группы (не обязательно циклической), то степени $g$ образуют циклическую подгруппу.
Если эта подгруппа конечна, то существует минимальное целое положительное число $m$, такое, что $g^m=e$.
Элементами подгруппы являются: $e$, $g$, $g^2$, ..., $g^{m-1}$ (в силу минимальности $m$, среди них нет равных).
Число $m$ называется порядком элемента $g$.
Таким образом, порядок элемента $g$ равен порядку циклической подгруппы, генерируемой этим элементом.

Группа называется тривиальной, если она состоит из одного единичного элемента.
Тривиальная группа является циклической группой порядка 1.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Тогда в $G$ cуществует элемент, порядок которого делится на $p$.
Чтобы доказать это, предположим обратное, и пусть $G$ - такая группа наименьшего порядка, в которой нет такого элемента.
Возьмём какой-либо элемент $g$, отличный от $e$, и пусть $H$ - циклическая подгруппа генерируемая этим элементом.
Согласно предположению, порядок $H$ не делится на $p$, поэтому порядок фактор группы $G/H$ делится на $p$.
Поскольку порядок этой фактор группы меньше порядка $G$, то согласно предположению в $G/H$ есть элемент $aH$, порядок которого делится на $p$.
Тогда порядок элемента $a$ делится на $p$ (поскольку он делится на порядок смежного класса $aH$), что противоречит тому, что такого элемента нет.

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Мы доказали, что в $G$ cуществует элемент, порядок которого делится на $p$.
Из этого следует, что существует элемент, порядок которого равен $p$.
В самом деле, если $p m$ - порядок элемента $g$, то порядок элемента $g^m$ равен $p$.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$.
Пусть $H$ - множество всех элементов этой группы, порядок которых является степенью $p$.
Множество $H$ является подгруппой группы $G$.
Докажем, что порядок фактор группы $G/H$ не делится на $p$.
Предположим обратное, что $|G/H|$ делится на $p$.
Тогда в $G/H$ существует элемент $aH$ порядка $p$, где $a$ не принадлежит $H$.
Поскольку $a^p$ принадлежит $H$, то порядок $a$ является степенью $p$.
Это противоречит тому, что $a$ не принадлежит $H$.

Таким образом, порядок $H$ равен наибольшей степени $p$, на которую делится порядок $G$.

Пусть $G$ - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число $p$, и $p^k$ наибольшая степень $p$, на которую делится этот порядок.

Мы доказали, что существует подгруппа $H$ порядка $p^k$.
Поскольку подгруппа $H$ включает все элементы, порядок которых является степенью $p$, то она является единственной подгруппой порядка $p^k$.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Абелева группа $G$ называется прямым произведением подгрупп $H_1$, ..., $H_m$, если любой элемент $g$ группы $G$ однозначно представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.

Произведение подгрупп $H_1$...$H_m$ является прямым произведением тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

(1) Пусть $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$. Тогда из $h_1...h_m=e$ следует $h_1=e$,...,$h_m=e$.

Из этого условия следует:

Любые две из этих подгрупп не имеют общих элементов, кроме единицы $e$.
Все произведения вида $h_1...h_m$ различны.

Пусть $G$ - конечная абелева группа и $|G|=p_1^{k_1}...p_m^{k_m}$, где $p_1$, ..., $p_m$ - различные простые числа.
Пусть $H_1$, ..., $H_m$ -подгруппы порядка $p_1^{k_1}$, ..., $p_m^{k_m}$.
Мы доказали, что эти подгруппы определены однозначно.
Для них выполняется условие (1).
Произведение этих подгрупп содержит $|G|=p_1^{k_1}...p_m^{k_m}$ элементов.
Поэтому $G$ является прямым произведением подгрупп $H_1, ..., H_m$, и любой элемент $g$ группы $G$ однозначно представим в виде произведения $g=h_1...h_m$, где $h_1 \in H_1$, ..., $h_m \in H_m$.

-------------------------------------------------------------------------------------------
Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются независимыми, если они отличны от $e$, и из $a_1^{k_1}...a_1^{k_n}=e$ следует $a_1^{k_1}=e$, ..., $a_n^{k_n}=e$, для любых целых чисел $k_1$, ..., $k_n$.
Пусть $A_1$, ..., $A_n$ - нетривиальные циклические подгруппы, генерируемые элементами $a_1$, ..., $a_n$.
Произведение подгрупп $A_1...A_n$ является их прямым произведением тогда и только тогда, когда $a_1$, ..., $a_n$ независимы.
Элементы $a_1$, ..., $a_n$ абелевой группы $G$ называются её базисом, если они независимы, и $G$ является произведением циклических подгрупп, генерируемых этими элементами: $G=A_1...A_n$.
--------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.
Тогда $H$ представима в виде прямого произведения нетривиальных циклических подгрупп.
Чтобы доказать это предположим обратное, и пусть $H$ -конечная абелева группа наименьшего порядка $p^k$, не представимая в виде прямого произведения нетривиальных циклических подгрупп.

Выберем в $H$ элемент $g$ наибольшего порядка, генерирующий циклическую подгруппу $C$.

Пусть $a$ - какой-либо элемент группы $H$, не принадлежащий подгруппе $C$.
Пусть $v$ - порядок смежного класса $a C$ в фактор группе $H/C$.
Покажем, что можно выбрать такой элемент $b \in a C$, что $b^v=e$.
Если $a^v=e$ положим $b=a$.
Пусть $a^v\neq e$, $a^v=g^n$, где $n$ - целое положительное число.
Пусть $n=n_1 n_2$, где $n_1$ не делится на $p$, а $n_2$ является степенью $p$.
Тогда порядок $a^v$ в $C$ равен $|C|/n_2$, следовательно порядок $a$ в $H$ равен $v |C|/n_2$.
В силу максимальности $|C|$ имеем: $v |C|/n_2\leq |C|$, откуда $v\leq n_2$.
Поскольку $v$ и $n_2$ являются степенями $p$, то $n_2$ делится на $v$, значит и $n$ делится на $v$.
Пусть $b=a g^{-n/v}$.
Тогда $b^v=a^v g^{-n}=g^n g^{-n}=e$, что и требовалось.

Поскольку $b^v=e$, то циклическая подгруппа группы $H$, генерированная элементом $b$ не имеет с $C$ общих элементов, кроме $e$.

В силу минимальности порядка $H$, фактор группа $H/C$ является прямым произведением циклических подгрупп, генерируемых элементами $b_1 C$, ..., $b_m C$, где элементы $b_1$, ..., $b_m$ не принадлежат $C$ и выбраны так, что генерируемые ими циклические подгруппы (группы $H$) не имеют с $C$ общих элементов, кроме $e$.
Пусть $A_1$, ..., $A_m$ - эти циклические подгруппы, генерируемые элементами $b_1$, ..., $b_m$.
Для любых элементов $a_1 \in A_1$, ..., $a_m \in A_m$: если $(a_1 C)...(a_m C)=C$, то $a_1 C=C$, ..., $a_m C=C$, следовательно $a_1$, ..., $a_m$ принадлежат $C$, значит равны $e$.
Поэтому, для любых элементов $a_1 \in A_1$, ..., $a_m \in A_m$ и любого элемента $c \in C$: если $a_1...a_m c=e$, то $(a_1 C)...(a_m C)=c^{-1}C=C$, значит $a_1=e$, ...,$a_m=e$, значит и $c=e$.

Следовательно, группа $H$ является прямым произведением циклических подгрупп $A_1$, ..., $A_m$ и $C$, что противоречит предположению.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пусть $H$ - конечная абелева группа порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число.
Пусть $H$ является прямым произведением нетривиальных циклических подгрупп $A_1$, ..., $A_m$.
Подгруппы $A_1$, ..., $A_m$ не определяются однозначно группой $H$.
Однако их количество и порядки определены однозначно с точностью до перестановки.
В частности, $p^m$ равно числу таких элементов $x$ группы $H$, что $x^p=e$.
В самом деле, если $(a_1...a_m)^p=e$, где $a_1 \in A_1$, ..., $a_m \in A_m$, то $a_1^p=e$, ..., $a_m^p=e$ в силу условия (1) прямого произведения.
Поскольку в каждой из циклических подгрупп $A_i$ имеется ровно $p$ таких элементов $x$, что $x^p=e$ , то количество таких произведений $a_1...a_m$, что $(a_1...a_m)^p=e$ равно $p^m$.

Пусть теперь $H=A_1...A_m=B_1...B_m$ - два разложения группы $H$ в прямое произведение нетривиальных циклических подгрупп, расположенных в порядке убывания их порядков, то есть $|A_1|\geq...\geq |A_m|$ и $|B_1|\geq...\geq |B_m|$.

Тогда $|A_1|=|B_1$|, ..., $|A_m|=|B_m|$.

Для доказательства этого предположим обратное, и пусть $H$ - абелева группа наименьшего порядка $p^k$, где $p$ - простое число, $k$ - целое положительное число, для которой это неверно.

Для любой абелевой группы $G$ обозначим $G^{(p)}$ множество элементов вида $g^p$, где $g \in G$.
Множество $G^{(p)}$ является подгруппой группы $G$.
Если $G$ - циклическая группа порядка $p^v$, где $v$ - целое положительное число, то $G^{(p)}$ - циклическая группа порядка $p^{v-1}$.

Имеем: $H^{(p)}=A_1^{(p)}...A_m^{(p)}=B_1^{(p)}...B_m^{(p)}$ - два разложения группы $H^{(p)}$ в прямое произведение циклических подгрупп, расположенных в порядке убывания их порядков.
Среди циклических подгрупп $A_1^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и $B_1^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$ могут быть тривиальные, но количество нетривиальных подгрупп одинаково среди $A_1^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и среди $B_1^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$.
Обозначим это количество через $n$.
Если $n<m$, то все подгруппы $A_{n+1}^{(p)}$, ..., $A_m^{(p)}$ и $B_{n+1}^{(p)}$, ..., $B_m^{(p)}$ - тривиальные, откуда все циклические подгруппы $A_{n+1}$, ..., $A_m$ и $B_{n+1}$, ..., $B_m$ имеют одинаковый порядок $p$.
Если $n=0$, то это противоречит предположению.
Пусть $n>0$.
Поскольку $|H^{(p)}|<|H|$, то ввиду минимальности порядка группы $H$ имеем: $|A_1^{(p)}|=|B_1^{(p)}|$, ..., $|A_n^{(p)}|=|B_n^{(p)}|$, откуда $|A_1|=|B_1|$, ..., $|A_n|=|B_n|$.
Значит $|A_1|=|B_1|$, ..., $|A_m|=|B_m|$, что противоречит предположению.