Функция, принимающая каждое значение в континууме точек

[MestnyBomzh]

Здравствуйте! Подскажите, правильный ли я привожу пример для задачи:
Задача: Существует ли непрерывная действительная функция (отличная от кривой Пеано), определенная на отрезке $[0;1]$, принимающая каждое значение из отрезка $[0;1]$ в континууме точек?
Я сначала подумал о банальном примере: $y=0,5$ Но нужен, видимо, какой-то более серьезный пример. Так вот, подскажите, верно же, что здесь подойдут треугольник и ковер Серпинского?

[svv]

$f(0,a_1 b_1 a_2 b_2 a_3 b_3...)=0,b_1b_2b_3...$
Но непрерывной она не будет.

-- Вт апр 01, 2014 16:41:03 --


Пеано $[0,1]\to[0,1]\times[0,1]$
Серпинский $[0,1]\times[0,1]\to \{0,1\}$
А Вам ведь надо $[0,1]\to[0,1]$

[MestnyBomzh]

svv
не знаю, ведь это значение будет принимать континуум значений
А, я опоздал, вы уже отредактировали

[svv]

Вам же по условию надо, чтобы каждое значение из $[0, 1]$ принималось? А $y=0.5$ принимает только одно значение, хоть и в континууме точек.

[MestnyBomzh]

svv
ооой, а это я, действительно, проглядел, прочел: каждое свое значение.
А почему Серпинский $[0,1]\times[0,1]\to \{0,1\}$? Разве он отображает только в единицу или только в ноль?

[svv]

Да. Ковер Серпинского — это множество. С каждым множеством связана характеристическая функция. Те точки $(x, y)$, которые отображаются в $1$, принадлежат множеству Серпинского и изображаются, например, белым цветом. А те, которые отображаются в $0$, не принадлежат множеству и изображаются черным цветом.

Можете предложить другое истолкование ковра Серпинского.

[nikvic]

MestnyBomzh в сообщении #843801 писал(а):

отличная от кривой Пеано

Можно использовать "половину" кривой - только, например, ординату

[MestnyBomzh]

Трактование я понял, но тогда как трактуется Пеано, что получается такое отображение: Пеано $[0,1]\to[0,1]\times[0,1]$, ведь по сути, они(Пеано и Серпинский) отличаются, но не сильно.

[provincialka]

MestnyBomzh в сообщении #844214 писал(а):

ведь по сути, они(Пеано и Серпинский) отличаются, но не сильно.

В смысле? Вы хотите сказать, что они друг друга дополняют? Пеано покрывает весь квадрат, а у Серпинского, наоборот, почти весь квадрат убран. Но не весь. Остается еще связная часть.

[MestnyBomzh]

А, я понял. А что если взять Серпинского, только наоборот: то есть, у нас есть пустой квадрат $[0,1]\times[0,1]$. Построим треугольник в нем (как у тр-ка Серпинского), в нем еще один тр-к, как в схеме Серпинского и так далее

[patzer2097]

MestnyBomzh в сообщении #843801 писал(а):

Существует ли непрерывная действительная функция (отличная от кривой Пеано), определенная на отрезке $[0;1]$, принимающая каждое значение из отрезка $[0;1]$ в континууме точек?

кривая Пеано - это не "действительная функция". а если Вы имеете в виду проекцию кривой Пеано на ось Ox, то так и пишите

[MestnyBomzh]

patzer2097
Я цитирую из задачника, там так написано, у меня тоже возникли сомнения, будет ли она функцией, так как для какого-то $x$ существует не единственный $y$, а бесконечно много $y$. А проекция кривой Пеано на какую-либо ось уже будет функцией?

[svv]

Акцент на слове «действительная». Функция — понятие страшно общее. Кривая Пеано тоже функция (параметра $t$), но её значение при данном $t$ — не действительное число, а пара чисел.

Проекция — да, будет действительной функцией.

[patzer2097]

MestnyBomzh в сообщении #844375 писал(а):

А проекция кривой Пеано на какую-либо ось уже будет функцией?

кривая в пространстве $U$ - это непрерывная функция из $[0,1]$ в $U$. то есть, кривая Пеано - это функция $\pi$ из $[0,1]$ в $[0,1]\times[0,1]$.

А Вам нужна функция из $[0,1]$ в $[0,1]$. поэтому я советую построить нужную Вам функцию, положив $\pi_1(t)$ равным икс-координате точки $\pi(t)\in[0,1]\times[0,1]$.

Вам осталось только проверить, что $\pi_1(t)$ удовлетворяет Вашему условию

[Dan B-Yallay]

MestnyBomzh в сообщении #843801 писал(а):

Задача: Существует ли непрерывная действительная функция (отличная от кривой Пеано), определенная на отрезке $[0;1]$, принимающая каждое значение из отрезка $[0;1]$ в континууме точек?

А чем $f (x)=x$ не подходит?