Функция, принимающая каждое значение в континууме точек

[patzer2097]

Dan B-Yallay в сообщении #844412 писал(а):

А чем $f (x)=x$ не подходит?

она принимает значение 0 только в точке $x=0$, а должна в континууме точек

[Dan B-Yallay]

patzer2097 в сообщении #844471 писал(а):

она принимает значение 0 только в точке $x=0$, а должна в континууме точек

Осознал. Видимо надо думать в сторону подобия канторовой лестницы..

[MestnyBomzh]

patzer2097 в сообщении #844381 писал(а):

я советую построить нужную Вам функцию, положив $\pi_1(t)$ равным икс-координате точки $\pi(t)\in[0,1]\times[0,1]$.

А она будет непрерывной??

[svv]

Да, $\pi_1(t)$ будет непрерывной, потому что это проекция непрерывной $\pi(t)$.
(проекция тоже непрерывная функция, а композиция непрерывных функций непрерывна)

А вот будет ли она каждое из значений $[0,1]$ принимать на множестве мощности континуума? Я не сомневаюсь, я просто не знаю (не думал).

[MestnyBomzh]

Так, а можно еще раз уточнить алгоритм исключения точек? Кривая Пеано: $\pi$ из $[0,1]$ в $[0,1]\times[0,1]$. Но ведь при выборе какого-то $t=t_i$ мы получим не одну точку, а континуум точек $\pi(t_i)$ с абсциссой $t_1$. Тогда мы берем какую-то точку из полученных и выбираем ее иксовую координату (у всех этих точек иксовая координата одна и та же $t_1$), но тогда мы пришли к тому же $t_1$. Очевидно, я неправильно делаю отображение $\pi$, его нужно как-то по-другому строить, но как?

[g______d]

svv в сообщении #844711 писал(а):

А вот будет ли она каждое из значений $[0,1]$ принимать на множестве мощности континуума? Я не сомневаюсь, я просто не знаю (не думал).

У каждой точки $[0,1]$ континуум прообразов при проекции. Поскольку кривая Пеано заметает весь квадрат, у нас есть континуум точек на кривой с одной и той же проекцией, и, очевидно, их прообразы на исходный отрезок различны (т. к. кривая Пеано — это функция).

[kp9r4d]

MestnyBomzh
Нет, у вас точка "пробегает" по кривой, но в каждый момент времени вы смотрите только на одну её координату. Аналогия: пусть есть отображение полуинтервала в окружность:
$\varphi : [0,2 \pi) \to \mathbb{R}^2$
$\varphi(t) = (\cos t, \sin t)$
Вы «смотрите» только на первую координату, и получаете функцию одной переменной
$\varphi(t) = \cos t$
Хотя у всех точек интервала $(-1,1)$ при проектировании на него окружности ровно два прообраза.
Довольно просто доказать, что проекция любой непрерывной функции - непрерывная функция (об этом уже упоминали).

[svv]

g______d
Точно! Пеано же.

[MestnyBomzh]

Спасибо, понял! Это ведь всё верно и для квадрата, и для треугольника Серпинского?