2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кусочно-непрерывная функция и Липшицевость
Сообщение01.04.2014, 14:38 


12/11/13
89
Добрый день!

Читаю одну книгу и прошу помощи с непонятным отрывком. Чтобы ничего не переврать, вот отрывок на языке оригинала:
Consider
$\dot{x}=A(t)\,x, \quad x(t_0)=x_0\qquad(1)$
where $A(t)\inR^{n\times n}$ is a piecewise continuouse function belonging to $L_{\infty\,\varepsilon}$.
Далее идут некоторые определения, а затем
Note that linear systems with $A(\cdot)\in L_{\infty\,\varepsilon}$ automatically satisfy the Lipschitz condition over any finite time interval, so that the solutions of (1) are unique on any time interval.

Мне не понятно - если $A(\cdot)$ - кусочно-непрерывная, то она ведь допускает разрывы на границах интервалов, так? Как она тогда может быть Липшицевой? Объясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кусочно-непрерывная функция и Липшицевость
Сообщение01.04.2014, 15:01 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Arastas в сообщении #844123 писал(а):
Мне не понятно - если $A(\cdot)$ - кусочно-непрерывная, то она ведь допускает разрывы на границах интервалов, так? Как она тогда может быть Липшицевой?

Не она липшицева. Система удовлетворяет условию Липшица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кусочно-непрерывная функция и Липшицевость
Сообщение01.04.2014, 15:54 


12/11/13
89
Я, к сожалению, не понимаю. Система - в смысле, что правая часть диф. уравнения? Разве она Липшицева, если $A(\cdot)$ может быть разрывной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кусочно-непрерывная функция и Липшицевость
Сообщение01.04.2014, 15:57 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Вы теорему Коши о существовании и единственности решения знаете в этой формулировке? дальше ведь на нее ссылаются. Найдите, все равно понадобится, заодно найдете и условие липшицевости для ОДУ (системы ОДУ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кусочно-непрерывная функция и Липшицевость
Сообщение01.04.2014, 16:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10083
Arastas в сообщении #844150 писал(а):
Разве она Липшицева, если $A(\cdot)$ может быть разрывной?

Вам намекают, что (при $0<t<T$) матрица $A(t)$ (даже если разрывна) - она ограничена сверху в некотором смысле.
Вот это ограничение и используется в виде множителя $L :$ Липшицево отображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Кусочно-непрерывная функция и Липшицевость
Сообщение01.04.2014, 16:39 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Dan B-Yallay
Ему намекают, что условие липшицевости для системы выглядит иначе и выписывается по совсем другой переменной, чем он думает. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Кусочно-непрерывная функция и Липшицевость
Сообщение01.04.2014, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10083
он по $t$ проверятет Липшицевость? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Кусочно-непрерывная функция и Липшицевость
Сообщение01.04.2014, 16:59 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Именно. И недоумение его понятно: ведь липшицева обязана быть непрерывной безо всяких "кусочно". ))

 Профиль  
                  
 
 Re: Кусочно-непрерывная функция и Липшицевость
Сообщение01.04.2014, 17:40 


12/11/13
89
Хорошо. Имеем $\dot{x}=f(t,x)$, где $f(t,x)=A(t)\,x$. Так как $A(t)$ ограничена, то функция $f(t,x)$ является Липшицевой по аргументу $x$, с этим разобрался, спасибо.

Однако далее я нахожу несколько различающихся формулировки теоремы о существования и единственности решения, но они все предполагают и Липшицевость по $x$, и непрерывность $f(t,x)$ по всем аргументам. В моем случае $f(t,x)$ не является непрерывной по $t$, только кусочно-непрерывной. Какие ограничения это накладывает на существование и единственность решения?

Спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кусочно-непрерывная функция и Липшицевость
Сообщение01.04.2014, 18:22 


10/02/11
6786
Arastas в сообщении #844189 писал(а):
Однако далее я нахожу несколько различающихся формулировки теоремы о существования и единственности решения, но они все предполагают и Липшицевость по $x$, и непрерывность $f(t,x)$ по всем аргументам. В моем случае $f(t,x)$ не является непрерывной по $t$, только кусочно-непрерывной. Какие ограничения это накладывает на существование и единственность решения?


это накладывает условия только на гладкость решения, см также условия Каратеодори

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group