Kак доказать, что если A⋅X=0 для любого вектора Х, то А = 0

[ghetto]

Пусть $A = X$

$ A \cdot X = 0 \to a_1^2 + ... a_n^2 = 0$.


Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен и единственная сумма неотриц. веществ. чисел равняющаяся нулю есть сумма нулей, $a_i^2 = 0$ и $a_i = 0$. Тогда, $A = 0$.

Как мы докажем это для $X \neq A$? Или есть простое док-во получше, не препдологающее знание матриц? Спасиб.

[Otta]

Сформулируйте задачу нормально. Что такое $A$, что такое $X$. Матрицы, векторы, числа - что?

[ghetto]

Пусть А вектор перпендикулярный любому вектору Х. Докажите $A = 0$

Насчет матриц, "мы это еще не проходили". )

[Otta]

ghetto в сообщении #843905 писал(а):

Пусть А вектор перпендикулярный любому вектору Х.

А как условие перпендикулярности вы умеете записывать для векторов?

[ghetto]

Otta в сообщении #843909 писал(а):

ghetto в сообщении #843905 писал(а):

Пусть А вектор перпендикулярный любому вектору Х.

А как условие перпендикулярности вы умеете записывать для векторов?

А перпендикулярен Х если $A \cdot X = 0$ т. е. $a_1x_1 + \ldots + a_nx_n = 0$

[Otta]

Ну правильно. Каждому $x$. Ну и подставьте вместо $x$ то, что выгоднее всего там иметь для Ваших целей.

[svv]

ghetto
У Вас уже есть хорошее доказательство. Проблема только в том, чтобы Вы поняли, что Вы уже всё доказали.

Вам не надо что-то доказывать для всех $X$. Вам для любого вектора $A$ достаточно найти один вектор $X$ такой, что из $A\cdot X=0$ следует $A=0$. Не получится вывести с помощью одного $X$ — возьмите несколько $X_1, X_2, ... , X_n$. Но у Вас получилось. Вы выбрали $X=A$, и из $A\cdot A=0$ получается $A=0$. Всё.

[ghetto]

Otta в сообщении #843913 писал(а):

Ну правильно. Каждому $x$. Ну и подставьте вместо $x$ то, что выгоднее всего там иметь для Ваших целей.

Я могу подставить $a$ вместо $x$ т. е. получить $a_1^2 + \ldot + a_n^2$. Это предпологает $X = 0$. Как включить сюда случай когда $ X \neq 0$ ?

[Otta]

ghetto в сообщении #843932 писал(а):

могу подставить $a$ вместо $x$ т. е. получить $a_1^2 + \ldot + a_n^2$.

$=0$.

ghetto в сообщении #843932 писал(а):

Это предпологает $X = 0$.

Это никакого икс не предполагает, потому что икса здесь уже нет. А есть только $A$. И значит...

svv еще почитайте, вдруг пригодится.

[ghetto]

svv в сообщении #843926 писал(а):

ghetto
У Вас уже есть хорошее доказательство. Проблема только в том, чтобы Вы поняли, что Вы уже всё доказали.

Вам не надо что-то доказывать для всех $X$. Вам для любого вектора $A$ достаточно найти один вектор $X$ такой, что из $A\cdot X=0$ следует $A=0$. Не получится вывести с помощью одного $X$ — возьмите несколько $X_1, X_2, ... , X_n$. Но у Вас получилось. Вы выбрали $X=A$, и из $A\cdot A=0$ получается $A=0$. Всё.

Никак не могу понять как показав данное утверждение справедливо для опрeделенного $X$ мы можем считать его доказанным для всех $X$.

[Otta]

Вам ничего не надо доказывать для всех $x$. Вам для всех $x$ дано некое условие (перпендикулярности). А доказать надо про $A$. А $A$ не много, оно одно.

[svv]

В моем сообщении надо слова «любого вектора $A$» заменить на «данного вектора $A$».

[ghetto]

Otta в сообщении #843934 писал(а):

Это никакого икс не предполагает, потому что икса здесь уже нет. А есть только $A$. И значит...

svv еще почитайте, вдруг пригодится.

Если предположить $X = A$ и показать, что $A = 0$, то разве $X$ не равняется $0$?

Otta в сообщении #843938 писал(а):

Вам ничего не надо доказывать для всех $x$. Вам для всех $x$ дано некое условие (перпендикулярности). А доказать надо про $A$. А $A$ не много, оно одно.

svv в сообщении #843939 писал(а):

В моем сообщении надо слова «любого вектора $A$» заменить на «данного вектора $A$».

Теперь ясно. Спасибо.

[Otta]

ghetto в сообщении #843943 писал(а):

Если предположить $X = A$ и показать, что $A = 0$, то разве $X$ не равняется $0$?

Икса нет в природе. Есть $A$, перпендикулярный всем векторам. А раз всем, значит, и самому себе. Все. Точка.