2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Kак доказать, что если A⋅X=0 для любого вектора Х, то А = 0
Сообщение31.03.2014, 22:10 
Пусть $A = X$

$ A \cdot X = 0 \to a_1^2 + ... a_n^2 = 0$.


Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен и единственная сумма неотриц. веществ. чисел равняющаяся нулю есть сумма нулей, $a_i^2 = 0$ и $a_i = 0$. Тогда, $A = 0$.

Как мы докажем это для $X \neq A$? Или есть простое док-во получше, не препдологающее знание матриц? Спасиб.

 
 
 
 Re: Kак доказать, что если A⋅X=0 для любого вектора Х, то А = 0
Сообщение31.03.2014, 22:35 
Сформулируйте задачу нормально. Что такое $A$, что такое $X$. Матрицы, векторы, числа - что?

 
 
 
 Re: Kак доказать, что если A⋅X=0 для любого вектора Х, то А = 0
Сообщение31.03.2014, 22:40 
Пусть А вектор перпендикулярный любому вектору Х. Докажите $A = 0$

Насчет матриц, "мы это еще не проходили". )

 
 
 
 Re: Kак доказать, что если A⋅X=0 для любого вектора Х, то А = 0
Сообщение31.03.2014, 22:46 
ghetto в сообщении #843905 писал(а):
Пусть А вектор перпендикулярный любому вектору Х.

А как условие перпендикулярности вы умеете записывать для векторов?

 
 
 
 Re: Kак доказать, что если A⋅X=0 для любого вектора Х, то А = 0
Сообщение31.03.2014, 22:53 
Otta в сообщении #843909 писал(а):
ghetto в сообщении #843905 писал(а):
Пусть А вектор перпендикулярный любому вектору Х.

А как условие перпендикулярности вы умеете записывать для векторов?


А перпендикулярен Х если $A \cdot X = 0$ т. е. $a_1x_1 + \ldots + a_nx_n = 0$

 
 
 
 Re: Kак доказать, что если A⋅X=0 для любого вектора Х, то А = 0
Сообщение31.03.2014, 22:56 
Ну правильно. Каждому $x$. Ну и подставьте вместо $x$ то, что выгоднее всего там иметь для Ваших целей.

 
 
 
 Re: Kак доказать, что если A⋅X=0 для любого вектора Х, то А = 0
Сообщение31.03.2014, 23:23 
Аватара пользователя
ghetto
У Вас уже есть хорошее доказательство. Проблема только в том, чтобы Вы поняли, что Вы уже всё доказали.

Вам не надо что-то доказывать для всех $X$. Вам для любого вектора $A$ достаточно найти один вектор $X$ такой, что из $A\cdot X=0$ следует $A=0$. Не получится вывести с помощью одного $X$ — возьмите несколько $X_1, X_2, ... , X_n$. Но у Вас получилось. Вы выбрали $X=A$, и из $A\cdot A=0$ получается $A=0$. Всё.

 
 
 
 Re: Kак доказать, что если A⋅X=0 для любого вектора Х, то А = 0
Сообщение31.03.2014, 23:30 
Otta в сообщении #843913 писал(а):
Ну правильно. Каждому $x$. Ну и подставьте вместо $x$ то, что выгоднее всего там иметь для Ваших целей.


Я могу подставить $a$ вместо $x$ т. е. получить $a_1^2 + \ldot + a_n^2$. Это предпологает $X = 0$. Как включить сюда случай когда $ X \neq 0$ ?

 
 
 
 Re: Kак доказать, что если A⋅X=0 для любого вектора Х, то А = 0
Сообщение31.03.2014, 23:39 
ghetto в сообщении #843932 писал(а):
могу подставить $a$ вместо $x$ т. е. получить $a_1^2 + \ldot + a_n^2$.

$=0$.
ghetto в сообщении #843932 писал(а):
Это предпологает $X = 0$.

Это никакого икс не предполагает, потому что икса здесь уже нет. А есть только $A$. И значит...

svv еще почитайте, вдруг пригодится.

 
 
 
 Re: Kак доказать, что если A⋅X=0 для любого вектора Х, то А = 0
Сообщение31.03.2014, 23:43 
svv в сообщении #843926 писал(а):
ghetto
У Вас уже есть хорошее доказательство. Проблема только в том, чтобы Вы поняли, что Вы уже всё доказали.

Вам не надо что-то доказывать для всех $X$. Вам для любого вектора $A$ достаточно найти один вектор $X$ такой, что из $A\cdot X=0$ следует $A=0$. Не получится вывести с помощью одного $X$ — возьмите несколько $X_1, X_2, ... , X_n$. Но у Вас получилось. Вы выбрали $X=A$, и из $A\cdot A=0$ получается $A=0$. Всё.


Никак не могу понять как показав данное утверждение справедливо для опрeделенного $X$ мы можем считать его доказанным для всех $X$.

 
 
 
 Re: Kак доказать, что если A⋅X=0 для любого вектора Х, то А = 0
Сообщение31.03.2014, 23:47 
Вам ничего не надо доказывать для всех $x$. Вам для всех $x$ дано некое условие (перпендикулярности). А доказать надо про $A$. А $A$ не много, оно одно.

 
 
 
 Re: Kак доказать, что если A⋅X=0 для любого вектора Х, то А = 0
Сообщение31.03.2014, 23:51 
Аватара пользователя
В моем сообщении надо слова «любого вектора $A$» заменить на «данного вектора $A$».

 
 
 
 Re: Kак доказать, что если A⋅X=0 для любого вектора Х, то А = 0
Сообщение31.03.2014, 23:57 
Otta в сообщении #843934 писал(а):
Это никакого икс не предполагает, потому что икса здесь уже нет. А есть только $A$. И значит...

svv еще почитайте, вдруг пригодится.


Если предположить $X = A$ и показать, что $A = 0$, то разве $X$ не равняется $0$?

Otta в сообщении #843938 писал(а):
Вам ничего не надо доказывать для всех $x$. Вам для всех $x$ дано некое условие (перпендикулярности). А доказать надо про $A$. А $A$ не много, оно одно.


svv в сообщении #843939 писал(а):
В моем сообщении надо слова «любого вектора $A$» заменить на «данного вектора $A$».


Теперь ясно. Спасибо.

 
 
 
 Re: Kак доказать, что если A⋅X=0 для любого вектора Х, то А = 0
Сообщение01.04.2014, 00:07 
ghetto в сообщении #843943 писал(а):
Если предположить $X = A$ и показать, что $A = 0$, то разве $X$ не равняется $0$?

Икса нет в природе. Есть $A$, перпендикулярный всем векторам. А раз всем, значит, и самому себе. Все. Точка.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group