Бендер и стулья (теорвер)

[Human]

На одном из матфорумов возник спор по поводу следующей задачи.

Остап Бендер достает очередной гарнитур из 12 стульев. Вероятность того, что в этом гарнитуре спрятан клад равна Р. После вскрытия первых 11 стульев клад не обнаружен. Какова вероятность того, что он есть в 12 стуле?

Есть два мнения

1. Вероятность останется равной $P$
2. Вероятность изменится и станет равной $\frac P{12-11P}$

Кто прав, кто виноват?

[provincialka]

Вроде вероятность должна уменьшиться. Представим себе кучу гарнитуров, часть (доля $p$) содержит клад, остальные - нет. Вскроем в каждом 11 стульев. Во второй группе клад не будет найден. А в первой - в каких-то будет найден. Значит, доля "складных" (с кладом) гарнитуров уменьшится, часть "отпадут", клад будет найден.

[TOTAL]

Human в сообщении #843472 писал(а):

1. Вероятность останется равной $P$

Это правильно, ведь это сказано в условии.

[Pphantom]

Human в сообщении #843472 писал(а):

Кто прав, кто виноват?

Первое мнение - правильное.

provincialka в сообщении #843496 писал(а):

Вроде вероятность должна уменьшиться.

Предположим, что мы кидаем монетку (нормальную, у которой вероятность выпадения какой-то одной стороной вверх равна 1/2). Монетка при первых трех бросках все три раза выпала гербом вверх. Следует ли из этого, что вероятность того, что она выпадет гербом вверх при четвертом броске, стала больше? меньше?

[provincialka]

Pphantom в сообщении #843518 писал(а):

Следует ли из этого, что вероятность того, что она выпадет гербом вверх при четвертом броске, стала больше? меньше?

Монетки все одинаковые, любая из них может хоть 100 раз упасть орлом. А гарнитуры - разные.
Я рассуждаю в предположении, что их конечное число, хоть и большое. Впрочем, думаю, это не важно.
Рассмотрим две гипотезы: $H_1$ - в гарнитуре есть клад, вероятность этой гипотезы $p$. Противоположная гипотеза $H_2$ имеет вероятность $1-p$. Вероятность того, что вскрыв 11 стульев мы клад не найдем, равна $p\cdot\frac{1}{12}+(1-p)\cdot 1=1-\frac{11p}{12}$. Тогда по Байесу вероятность гипотезы, что он там все же есть, равна $\dfrac{p\cdot\frac{1}{12}}{1-\frac{11p}{12}}$В чем здесь ошибка?

Вот перед моим мысленным взором лежит куча почти вскрытых гарнитуров (вдоль берега моря, как у отца Федора). Я, будучи экстрасенсом, откладываю влево те, в которых клада и не было. Другие делятся на две группы: с найденным кладом и с ненайденным. Получаем три кучки: где клада нет, $a=N(1-p)$, где он найден $b=N\frac{11}{12}p$ и где есть, но не найден $c=N\frac{1}{12}p$. По моему мнению, вероятность найти клад равна отношению $\frac{c}{a+c}$. Не так?

[Евгений Машеров]

Задача недосформулирована. После некоторого уточнения, что понимается под

Human в сообщении #843472 писал(а):

Вероятность того, что в этом гарнитуре спрятан клад равна Р

её можно рассматривать, например, как задачу на теорему Байеса.
Тогда есть два гипотезы $H_0$. что у нас "пустышка" и $H_1$, что клад у нас есть. Априорные их вероятности (1-P_ и P, соответственно.
После вскрытия 11 стульев гипотеза "клад в 12м стуле" равносильна гипотезе $H_1$
Найдём её апостериорную вероятность, зная событие $N_{11}$. отсутствие клада в первых 11 стульях
$P(H_1|N_{11})=\frac {P(N_{11}|H_1)P} {P(N_{11}|H_1)P+P(N_{11}|H_0)(1-P)}$
Очевидно, $P(N_{11}|H_0)=1$, а $P(N_{11}|H_1)=\frac 1 {12}$
Таким образом, верно второе решение.

[provincialka]

Пора устраивать голосование!

[Yadryara]

Если не ставить под сомнение Условие, то верен 1-й вариант:

1. Вероятность останется равной $P$

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Только хардкор, только Майдан!

[provincialka]

Да, я поняла. Я воспринимала условие так: "вероятность того, что в некотором гарнитуре есть клад", а там написано: "Вероятность того, что в этом гарнитуре есть клад". Вот в чем причина разных ответов!
Хотя что значит "вероятность того, что в этом гарнитуре..." Этот гарнитур - один, ив нем клад либо есть, либо нет, при чем тут вероятность? В общем, получается некорректная постановка.

[Евгений Машеров]

Yadryara в сообщении #843553 писал(а):

Если не ставить под сомнение Условие, то верен 1-й вариант:

1. Вероятность останется равной $P$

В условии пропущено, вероятность чего. Отсюда неопределённость. Вероятностный механизм, генерировавший гарнитуры с брильянтами с вероятностью P, остался тем же и после серии испытаний. Но вот вероятность того, что в тех гарнитурах, в которых мы уже проверили 11 стульев и не нашли клада, клад таки есть, уже не P.

[Yadryara]

Евгений Машеров в сообщении #843563 писал(а):

В условии пропущено, вероятность чего.

Нет, не пропущена:

Human в сообщении #843472 писал(а):

Какова вероятность того, что он есть в 12 стуле?

И в данном случае, она такая же, как и вероятность обнаружить его во всей партии.

Интересно, что скажет --mS--.

[Shadow]

Есть $n$ гарнитур (по 12 стульев $12n$ стульев) В один из стульев есть клад. Остап Бендер достает первую гарнитуру. Вероятность, что там есть клад $P=\frac 1 n$
После вскрытия любого пустого стулья, вероятность у всех остальных увеличивается.
После вскрытия 11 стульев вероятность каждого из остальных (вкл. последний из этой гарнитуры) равна $\frac{1}{12n-11}=\frac{P}{12-11P}$

-- 31.03.2014, 13:41 --

Евгений Машеров в сообщении #843563 писал(а):

Вероятностный механизм, генерировавший гарнитуры с брильянтами с вероятностью P

В том то и дело. Как сгенерирована вероятность $P$.

[TOTAL]

Надоело думать, поэтому взял топор и порубил все стулья в округе, опытным путем подтвердив, что второй ответ правильный.

[Yadryara]

Shadow в сообщении #843577 писал(а):

Есть $n$ гарнитур (по 12 стульев $12n$ стульев) В один из стульев есть клад. Остап Бендер достает первую гарнитуру. Вероятность, что там есть клад $P=\frac 1 n$

Уважаемый Shadow, это произвольное допущение. Этого нет в условии.