Редуцированная(Reduced) матрица плотности

[Munin]

swarog46
Прочитайте моё сообщение по ссылке, и скажите, что непонятно. Надо начинать с азов, а не сразу с текста, который вы уже не понимаете, про какого-то Белла.

[swarog46]

Извиняюсь за свою глупость, я видимо действительно был недостаточно готов не то что для ответа, но даже для правильной формулировки своего вопроса.
К сожалению, у меня снова есть, наверняка дурацкий вопрос:

Скажем, у меня есть матрица для светоделителя(преобразования светоделителя), пусть

$$ B = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Корректно ли тогда, пользуясь формализмом матриц плотности, записать матрицу выходного состояния таким образом?

$$\rho_{out} = B \rho_{in}B^{\dagger}$$

($\rho_{out}$ – матрица выходного состояния, $\rho_{in}$ – матрица состояния на входе)

[Munin]

Что значит "матрица для светоделителя"?

[swarog46]

Матрица, связывающая поле на выходе с полем на входе.

$$\begin{bmatrix} E_1 \\ E_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_{13} & t_{14} \\ t_{23} & r_{24} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_3 \\ E_4 \end{bmatrix}$$

, соответственно

$$E_1 = r_{13}E_3 + t_{14}E_4$$

$$E_2 = t_{23}E_3 + r_{24}E_4$$

[Munin]

А где тут, пгостите, кванты?

[swarog46]

Я по-наивности думал, что комплексные амплитуды $E_1, E_2, E_3, E_4$ можно заменить операторами рождения/уничтожения (комплексными амплитудами с коммутационными соотношениями $[a_i,a_i] = 1; [a_i,a_j] = 0, i \neq j$) фотонов при исследовании квантовых полей.

[fizeg]

swarog46
Вообще-то, если у вас все ограничивается линейной оптикой, то все будет именно так. Если, конечно, $B$ вы поделите на $\sqrt{2}$.

[swarog46]

fizeg
прошу прощения, пропустил множитель.
Я попытался посчитать таким способом и получается ерунда.
Для случая фотона на одном из входов, все нормально:

$$ \rho_{in} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

$$\rho_{out} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},$$

что вроде как дает среднее значение количества частиц на выходах 3 и 4 равное $\frac{1}{2}$.
А вот если попробовать подать по одному фотону на каждый вход, то получается ерунда какая-то:

$$\rho_{out} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Не подскажете, в чем я теперь ошибаюсь?

[fizeg]

ммм... стоп

-- 31.03.2014, 00:14 --

Так вы нормировку-то у состояния тоже сделайте. Это не по фотону на каждый вход, это суперпозиция |фотон на один вход>+|фотон на другой вход>

-- 31.03.2014, 00:18 --

Чтобы не было недоразумений. Я понял вас так. Вы подаете однофотонное состояние (с базисом соответствующим этим вашим двум входам) На выходе у вас (если линейная оптика) тоже однофотонное состояние

Если вы подадите на вход "классическое" когерентное состояние, у вас на выходе получится тоже "классическое" когерентное состояние, поле которого преобразовано с матрицей $B$

[swarog46]

Видимо я что-то опять неправильно понимаю.

На вход я подаю состояние $a^{\dagger}_{1}a^{\dagger}_{2} |0, 0 \rangle_{12} = |1,1\rangle_{12}$(по фотону на вход).
А когерентное состояние было бы, насколько я понимаю $a^{\dagger}_{1}a^{\dagger}_{1} |0, 0 \rangle_{12} = \sqrt{2!}|2,0\rangle_{12}$, или нет?

[fizeg]

swarog46
Да, вы многого не понимаете.

Про когерентные состояния забудьте пока, это типа $\vert e_k(p)\rangle=e^{e_k(p)a_k^\dagger(p)}\vert 0\rangle$

Начнем с начала. Ваша матрица в каком базисе записана?

[swarog46]

$$|1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

[fizeg]

swarog46
Как эти состояния соотносятся со следующими
- один фотон на первом входе
- один фотон на втором входе
- два фотона на разных входах
- вакуум
?

[swarog46]

мда, не то написал

$|00\rangle$ - вакуум на обоих
$|10\rangle$ - фотон на первом входе, вакуум на втором
$|01\rangle$ - фотон на втором, вакуум на первом
$|11\rangle$ - по фотону на каждом входе

[fizeg]

Ну тогда первое, вам придется оперировать с матрицами плотности 4x4

-- 31.03.2014, 02:05 --

а вообще вам придется включить еще состояния $\vert 20\rangle$ и $\vert 02\rangle$, т.е. 6x6

Тогда вы можете (если на однофотонном уровне ваш фильтр действительно унитарно крутит базис $\vert 10\rangle, \vert 01\rangle$) построить из $B$ матрицу преобразования для не более чем двухфотонных состояний