Отношение линейного порядка

[Gaary]

Задача. Пусть в некотором множестве $\Omega$ отношения $\rho_1$ и $\rho_2$ являются отношениями линейного порядка. Когда отношение $\rho_1\rho_2$ будет отношением линейного порядка в $\Omega$?

Решение. Отношение $\rho_1\rho_2$ будет отношением линейного порядка, если будут выполняться следующие свойства:
1) Рефлексивность
$a \rho_1\rho_2 a \Leftrightarrow \exists c: (a\rho_1c) \& (c\rho_2a)$. Тогда, при $c = a$ это верно.
2) Транзитивность
$(a \rho_1\rho_2 b) \& (b \rho_1\rho_2 c) \Rightarrow \!\, (a \rho_1\rho_2 c) $
$(a \rho_1\rho_2 b) \& (b \rho_1\rho_2 c) \Leftrightarrow \exists d, e: (a \rho_1 e) \& (e \rho_2 b) \& (b \rho_1 d) \& (d \rho_2 c)$
$(a \rho_1\rho_2 c) \Leftrightarrow \exists k: (a \rho_1 k) \& (k \rho_2 c)$
Далее не понятно, при каких $\rho_1$ и $\rho_2$ это будет верно.
3) Антисимметричность:
$(a \rho_1\rho_2 b) \& (b \rho_1\rho_2 a) \Rightarrow \!\,a = b$
Аналогично, я раскладываю как $\exists d, e: (a \rho_1 e) \& (e \rho_2 b) \& (b \rho_1 d) \& (d \rho_2 a)$, а дальше не знаю, что делать
4) И четвертое свойство: $\forall a, b (a \rho_1\rho_2 b) \vee(b \rho_1\rho_2 a)$

Я понимаю, что скорее всего 2, 3, 4 свойства доказываются как-то аналогично. Не подскажете что стоит посмотреть?

[AV_77]

Gaary в сообщении #840218 писал(а):

Не подскажете что стоит посмотреть?

Коммутативность произведения отношений.

[provincialka]

Предположим, что в порядке $\rho_1$ элемент $a$ предшествует $b$, а в порядке $\rho_2$ - наоборот. Как они будут соотноситься относительно композиции?

[Gaary]

provincialka в сообщении #840341 писал(а):

Предположим, что в порядке $\rho_1$ элемент $a$ предшествует $b$, а в порядке $\rho_2$ - наоборот. Как они будут соотноситься относительно композиции?

А мы разве можем в этом случае что-то сказать о том, как они будут соотноситься?

[provincialka]

Пусть $a\rho_1b$, в силу рефлексивности выполняется $b\rho_2b$, так что $a\rho_1\rho_2 b$. Но в силу $b\rho_2 a$и $b\rho_1 b$ будет также $b\rho_1\rho_2 a$. И если $a$ и $b$ различны, то ...