Сводится к вопросу о мере иррациональности пи, которая сама неизвестна.
Можете сказать каким образом?
Ищете при каких n число

мало. Это бывает только, если

мало, т.е.

мало.
Играют роль только те значения, когда n числитель, а k знаменатель частичного разложения в непрерывную дробь

, когда

, соответственно

. Здесь неравенство выполняется и в другую сторону с некоторым коэффициентом.
Поэтому, надо оценить

Оцениваем сумму

При

ряд расходится даже без синуса.
Оцениваем значение синуса

Отсюда несложно показать, что вклад членов

, не превышает вклада члена для

более чем

раз.
Это приводит к тому, что ряд сходится, если

Для рациональных х

, для алгебраических

. Вообще

только для особых чисел, составляющих меру 0.
Думаю можно доказать конечность или даже не особость числа

, т.е.

.
Можно использовать следующую идею, если

очень мало, то

очень близки к алгебраическим числам, соответственно

не может
быть большим.