Ряд

[Terraniux]

При каких значениях параметров $\alpha,\beta$ ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^\alpha\sin^\beta{n}}}$ сходится?

[Otta]

Но это открытая проблема. Даже в частном случае $\alpha=3,\beta=2$.
Погуглите Flint Hills Series.

[ИСН]

Сводится к вопросу о мере иррациональности пи, которая сама неизвестна.

[Terraniux]

Получается, что о сходимости рядов $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{\alpha^n \sin^\beta n}}; \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n!\sin^\beta n}}$ также ничего не известно?

[Sonic86]

Terraniux в сообщении #843048 писал(а):

Получается, что о сходимости рядов $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{\alpha^n \sin^\beta n}}; \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n!\sin^\beta n}}$ также ничего не известно?

На Вольфраме указана оценка меры иррациональности $\pi$ сверху: $\mu (\pi)\leqslant 2,5$. Следует ли отсюда, что для $\alpha > 2,5, \beta =1$ ряд сходится? Если да, то можно утверждать, что эти ряды сходятся, причем $\forall \beta$.

[Руст]

Sonic86 в сообщении #843072 писал(а):

оценка меры иррациональности $\pi$ сверху: $\mu (\pi)\leqslant 2,5$. Следует ли отсюда, что для $\alpha > 2,5, \beta =1$ ряд сходится? Если да, то можно утверждать, что эти ряды сходятся, причем $\forall \beta$.

Нет. Там упоминается только очевидная вещь, что в случае меры иррациональности меньше 2.5 соответствующий ряд сходится.
Тем не менее, сходимость последних рядов на мой взгляд можно доказать. Хотя и это совсем нетривиальная задача, как соотношение, указанное по вашей ссылке.

[kp9r4d]

ИСН в сообщении #840196 писал(а):

Сводится к вопросу о мере иррациональности пи, которая сама неизвестна.

Можете сказать каким образом?

[Руст]

kp9r4d в сообщении #843090 писал(а):

ИСН в сообщении #840196 писал(а):

Сводится к вопросу о мере иррациональности пи, которая сама неизвестна.

Можете сказать каким образом?

Ищете при каких n число $\sin n$ мало. Это бывает только, если $n-k\pi$ мало, т.е. $|\pi-\frac{n}{k}|$ мало.
Играют роль только те значения, когда n числитель, а k знаменатель частичного разложения в непрерывную дробь $\frac nk=\frac{P_l}{Q_l}$, когда $|\frac{P_l}{Q_l}-\pi|<\frac{1}{Q_lQ_{l+1}}$, соответственно $|\sin n|<\frac{1}{Q_{l+1}}$. Здесь неравенство выполняется и в другую сторону с некоторым коэффициентом.
Поэтому, надо оценить $\frac{Q_{l+1}}{Q_l}=q_{l+1}+\frac{Q_{l-1}}{Q_l}, Q_l\approx \frac{n}{\pi}.$
Оцениваем сумму

$$\sum_{n=1}^{P_l} \frac{1}{n^{\alpha}\sin n^{\beta}}.$$

При $\alpha\le 1$ ряд расходится даже без синуса.
Оцениваем значение синуса $\sin n=\sin {(\frac{nQ_l\pi}{P_l}+n(1-\frac{\pi Q_l}{P_l}))}.$
Отсюда несложно показать, что вклад членов $n<P{l}$, не превышает вклада члена для $n=P_l$ более чем $2\ln n +1$ раз.
Это приводит к тому, что ряд сходится, если $\alpha>max(1,\beta (\mu(\pi)-1)).$

Для рациональных х $\mu(x)=1$, для алгебраических $\mu(x)=2$. Вообще $\mu(x)>2$ только для особых чисел, составляющих меру 0.
Думаю можно доказать конечность или даже не особость числа $\pi$, т.е. $\mu(\pi)=2$.
Можно использовать следующую идею, если $\sin n$ очень мало, то $\sin 1, \cos 1$ очень близки к алгебраическим числам, соответственно $\mu(\pi)$ не может
быть большим.

[Terraniux]

Руст, но мера иррациональности $\pi$ - открытая проблема, вроде. Или же ее уже решили?

[Руст]

Да, открытая проблема.
Но конечность этой меры вроде можно доказать, воспользовавшись указанными соображениями.
Последние ваши ряды сходятся, если эта мера конечна.