Изоморфизм групп

[masterflomaster]

Помогите пожалуйста решить задачу!

Среди следующих групп указать все пары изоморфных между собой групп: $\langle Z/2Z, +, -\rangle$, $\langle R^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$, $\langle Q^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$, $\langle Z^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$. Объяснить, почему остальные неизоморфны между собой.


Решение: $\langle Z/2Z, +, -\rangle$ - циклическая группа из двух элементов 0 и 1, $\langle Z^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ - моноид (нет обратных элементов), $\langle R^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$, $\langle Q^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ - бесконечные группы. Изоморфизм можно построить, если будет взаимно однозначное соответствие, т.е число элементов должно быть одинаково. $\langle Z/2Z, +, -\rangle$ - не рассматриваем, т.к. она единственная конечная группа среди представленных, $\langle Z^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ - не рассматриваем, т.к. вообще моноид, а не группа.

Получается необходимо только рассмотреть $\langle R^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$, $\langle Q^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$?

[Nemiroff]

Что есть звёздочка?

[masterflomaster]

Означает, что группа мультипликативная.

[provincialka]

Зачем? Там же знак умножения и так поставлен. Может, звездочка означает "без нуля"?

[masterflomaster]

Да, скорее всего без нуля))
Мы просто на занятиях всегда так $\langle A^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ обозначаем мультипликативную группу, но всегда подразумевали, что в ней нет 0 (если был бы 0, то $\langle A^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ не являлась группой, т.к. для 0 нет обратного элемента), а насчет звездочки я даже не задумывался) В общем, $\langle A^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ - мультипликативная группа без нуля.

[Nemiroff]

Ну ладно. Вы там что-то про число элементов говорили. Что насчёт ваших $\langle R^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$, $\langle Q^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$?

[masterflomaster]

По идее, число элементов в $\langle R^{*}, \cdot, ^{-1} \rangle$, $\langle Q^{*}, \cdot, ^{-1} \rangle$ бесконечно много. Так?)

[corvus42]

Ключевое слово: мощность.

[masterflomaster]

Мощность группы - это количество элементов в группе. Т.е. мощность бесконечных групп равна $+ \infty$. И что нам это дает?

[ИСН]

Плюсбесконечности бывают разные.

[masterflomaster]

В своем прошлом сообщении я хотел сказать, что в $\langle R^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ и $\langle Q^{*}, \cdot, ^{-1}\rangle$ количество элементов бесконечно.
Никогда не встречался с разными плюсбесконечностями. Наверно, я не так понял, что вы имели ввиду.

[corvus42]

Прочитайте где-нибудь про мощности. Бесконечность -- это не мощность.

[masterflomaster]

Почитал. Правильно ли я понял?

Мощность множества - количество элементов в множестве. Множества Q и R неравномощны, множество рациональных чисел - счетное множество, действительных - несчетное. Следовательно их мультипликативные группы неизоморфны.

[Brukvalub]

Верно.

[masterflomaster]

Всем огромное спасибо))