Функция с параметром, минимум

[acme]

Здравствуйте!
Дана задача: найти все значения параметра $a$, при которых наименьшее значение функции $f(x)=x^2-2(a+1)x+\frac{3a^2+10a+7}{4}$ на отрезке $[1;3]$ равно $1$.
Если взять производную, то получим линейную функцию:
$\\ f'(x)=2x-2(a+1) \\ f'(x)=0 \\ x=a+1$
Тут я не могу выделить экстремум-минимум по очевидным причинам.
Тогда я начал думать иначе:
$\\ f'(x_0)=0 \\ f(x_0)=1 \\ x_0=a+1 \\ f(a+1)=1 \\ ... \\ a_1=1-\sqrt{3} \\ a_2=1+\sqrt{3}$
А это уже полный бред получается.
В ответах написано $a \in {-1; 1; 3}$.
Но с чего начать это решение?
Подайте, пожалуйста, идею, мысль, а то я чего-то не вижу.
Заранее благодарен.

[Pphantom]

Функция - квадратный трехчлен с положительным коэффициентом при старшей степени. Следовательно, у нее есть ровно один глобальный экстремум, который, если окажется на нужном отрезке, будет искомым минимумом. Если же нет, то минимум на отрезке будет достигаться на одном из его краев (и вот это обстоятельство, похоже, Вы и упустили из виду).

[provincialka]

Еще подсказка: в этом случае не обязательно искать минимум, т.е. решать какие-то неравенства, выбирать в общем виде, какое значение меньше. Посмотрите, когда "подозрительные" значения равны 1 и для этих $a$ проверьте, будут ли они минимльны.