Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля

[qx87]

Подскажите, пожалуйста, книгу, где был бы описан общий метод решения диофантовых уравнений 2-й степени в общем виде:

$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$.

Ну или хотя бы таких уравнений:

$x^2 - my^2 = c$,

которые похожи на уравнения Пелля. Кстати, у них есть специальное название?

P. S. Решение последнего уравнения рассматривается в журнале "Квант" №4 а 2002 год, но в нём где-то содержится ошибка.

[ex-math]

Боюсь, в готовом виде не найдете. Но что мешает сделать все самому? Линейными (при необходимости унимодулярными) заменами приведите к простейшему виду, а там и книжки помогут. Вообще, про квадратичные формы много где можно найти, даже в простейшей книге Бухштаба.

С таким Пеллем вообще нетрудно справиться. В отличие от $c=\pm1$ может быть несколько серий решений. Наименьшие в этих сериях лежат между первым и вторым решениями первой серии, что легко показать.

[Sonic86]

У Боревича и Шафаревича подробно расписано решение уравнений $x^2-my^2=c$ в общем виде. М.б. в книге Дирихле Теория чисел найдете весь вопрос.
Только имейте ввиду, что уравнения вида $x^2+y^2=A$ там решаются через факторизацию $A$ или вообще перебором.

qx87 в сообщении #840397 писал(а):

Кстати, у них есть специальное название?

Вроде так и называется: обобщенное уравнение Пелля.

[Коровьев]

Общего метода решения данного уравнения
$$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$
не существует, поскольку это уравнение включает в себя и уравнения вообще не имеющие решений.
Но в частных случаях общее решение может быть найдено.
К примеру, если известно одно решение этого уравнения или свободный член $f=0$, то общее решение существует.
Один из методов нахождения всех решения этого уравнения при $f=0$ я приводил на этом форуме

[qx87]

У Бухштаба разбираются только классические уравнения Пелля, у Дирихле — частный случай обощённых: $x^2 - my^2 = c^2$, Боревича и Шафаревича простым смертным читать вообще не под силу.

А как показать, что наименьшие решения лежат между первым и вторым решениями оригинального Пелля?

[Sonic86]

(Оффтоп)

qx87 в сообщении #841949 писал(а):

Боревича и Шафаревича простым смертным читать вообще не под силу.

Да ладно Вам, нормальная книга, Вы Вейля почитайте

Я еще книгу вспомнил: Хассе Основы теории чисел - он там с квадратичными полями и уравнениями Пелля тоже долго разбирается.

А вообще там в целом вроде просто: хотим мы решить уравнение $x^2-my^2=A$. Его решение имеет вид $x-y\sqrt{m}=(c+d\sqrt{m})(a+b\sqrt{m})^n, n\in\mathbb{Z}$, где $(c,d)$ - некоторое решение уравнения $x^2-my^2=A$, а $(a,b)$ - фундаментальная единица $\mathbb{Z}[\sqrt{m}]$, т.е. 1-е нетривиальное решение уравнения $x^2-my^2=1$, последнее мы можем получить через разложение $\sqrt{m}$ в цепную дробь. Когда существует частное решение и как его искать - не помню

ex-math в сообщении #840406 писал(а):

В отличие от $c=\pm1$ может быть несколько серий решений.

А когда несколько? Когда $A$ несвободно от квадратов? Или для свободных тоже может быть?

upd:

qx87 в сообщении #841949 писал(а):

А как показать, что наименьшие решения лежат между первым и вторым решениями оригинального Пелля?

Если "между" строится из отношения $<$ на $\mathbb{R}$, то множество всех единиц $\{\pm\varepsilon^k, k\in\mathbb{Z}\}$ разбивает $\mathbb{R}$ на счетное число интервалов. Пусть есть некоторое решение $\alpha\in \mathbb{Z}[\sqrt{m}]$ обобщенного уравнения Пелля. Тогда оно попадет в какой-то из этих интервалов. Умножение на $\varepsilon^{\pm 1}$ переводит интервал в соседний интервал, значит каждое решение $\alpha\epsilon^k$ лежит в своем интервале, т.е. найдется $k: \alpha\varepsilon^k\in (1; \varepsilon)$ и найдется $k: \alpha\varepsilon^k\in (\varepsilon; \varepsilon^2)$ и где хотите в общем.

[nnosipov]

qx87 в сообщении #840397 писал(а):

P. S. Решение последнего уравнения рассматривается в журнале "Квант" №4 а 2002 год, но в нём где-то содержится ошибка.

И в чём она состоит?

[ex-math]

qx87
Sonic86 все правильно расписал: любое решение делением на $\varepsilon$ перегоняете в интервал между наименьшим и наименьшим, умноженным на $\varepsilon$. Стало быть, все решения есть некоторые частные решения из этого интервала, умнроженные на степени $\varepsilon$.

Sonic86
Я тоже не знаю критерия разрешимости при $c\neq\pm1$ и как искать частное решение.
Насчет количества серий. Бесквадратность вроде ни при чем: классический пример $x^2-2y^2=7$ имеет серии $(3,1)\to(13,9)\to\ldots$ и $(5,3)\to(27,19)\to\ldots$

[VAL]

qx87 в сообщении #840397 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, книгу, где был бы описан общий метод решения диофантовых уравнений 2-й степени в общем виде:

$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$.

Можно посмотреть здесь. В режиме "step by step".

[qx87]

nnosipov в сообщении #842199 писал(а):

И в чём она состоит?

В №3 за 2002 год на стр. 6 они разбирают частный случай — уравнение $x^2 - 2y^2 = 7$ и получают две серии решений: (3; 1) и (5; 3).

А в №4 на стр. 11 они дают общую схему решения уравнения $x^2 - dy^2 = c$. По этой схеме для данного уравнения в обозначениях "Кванта" имеем

$\\ d = 2\\ a = 3, b = 1\\ q = 3 + \sqrt{2}\\ c = 7 $

И далее требуется найти все $z$ и $t$, которые удовлетворяют двум условиям:

$\\ z^2 - 2t^2 = 7\\ 1 < z + t\sqrt{d} \leqslant 3 + \sqrt{2}\\ $

Каждая из найденных пар должна являться базой серии решений уравнения.

Так вот, ошибка в том, что вторая серия (5; 3) не удовлетворяет второму условию, т.е. она не будет найдена этим алгоритмом.

[nnosipov]

qx87 в сообщении #842470 писал(а):

И далее требуется найти все $z$ и $t$, которые удовлетворяют двум условиям:
$z^2 - 2t^2 = 7$
$1 < z + t\sqrt{d} \leqslant 3 + \sqrt{2}$

На самом деле требуется удовлетворить условие $1 < z + t\sqrt{d} \leqslant 3 + 2\sqrt{2}$, у Вас опечатка. Пара $(z,t)=(5,3)$ ему действительно не удовлетворяет, но ошибки тем не менее нет. Почему --- объясню позже, сейчас нет времени.

[nnosipov]

Дело в том, что, помимо пары $(z,t)=(3,1)$, неравенству $1 \leqslant z+t\sqrt{2}<3+2\sqrt{2}$ удовлетворяет и пара $(z,t)=(3,-1)$. И других пар $(z,t)$ целых (а не только натуральных!) чисел, удовлетворяющих этому неравенству, нет (докажите это самостоятельно). Таким образом, все решения уравнения $x^2-2y^2=7$ в целых числах даются формулами

$$ x+y\sqrt{2}=\pm (3+\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})^k, \quad x+y\sqrt{2}=\pm (3-\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})^k $$

Пара $(5,3)$ находится во второй серии: имеем $5+3\sqrt{2}=(3-\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})$.

[ex-math]

nnosipov
А Вы не знаете случайно, при каких $c\neq\pm1$ и $d\neq n^2$ уравнение типа Пелля разрешимо? И как можно найти число серий решений?

-- 29.03.2014, 15:27 --

Я-то привык искать решения в натуральных числах, так как целые решения получаются из них вариациями знаков (решения с одним нулевым неизвестным тривиальны). Поэтому, как и ТС видимо, предпочитаю начинать серию с $(5,3)$. Думаю, изложение "Кванта" несложно адаптировать под этот нюанс.

Для $c=\pm1$ условие $x+y\sqrt d>1$ автоматически означает положительность $x$ и $y$.

[nnosipov]

ex-math, вопрос о числе серий мне представляется сложным в общем случае. Но в некоторых частных случаях есть относительно простой ответ. Так, например, для числа $Q(c)$ серий решений уравнения $|x^2-2y^2|=c$ справедлива формула

$$ Q(c)=\sum_{r|c} \chi(r), \quad \chi(r)=\begin{cases} +1, & r \equiv 1,\,7 \pmod{8},\\ -1, & r \equiv 3,\,5 \pmod{8},\\ \hfill 0, & \text{иначе}. \end{cases} $$

По-видимому, нужно основательно лезть в теорию дивизоров, чтобы понять, как обстоит дело в общем случае.

ex-math в сообщении #842674 писал(а):

Думаю, изложение "Кванта" несложно адаптировать под этот нюанс.

Да, я это несколько лет назад и сделал, и даже предложил в каком-то смысле оптимальный алгоритм нахождения "базовых" решений (тот стандартный подход, что предлагается в "Кванте", можно улучшить). Собственно, с автором статьи в "Кванте" эти вещи довольно подробно обсуждались, но я это так нигде и не опубликовал. Если интересно (может быть, и ТС заинтересуется), могу здесь выложить. Похоже, на русском языке хорошего элементарного изложения этих вещей действительно нет.

[ex-math]

nnosipov
Спасибо за ответ. А более или менее простых условий разрешимости уравнения (безотносительно числа серий) тоже нет?

Если Вы выложите здесь свои материалы по уравнению Пелля, я с большим интересом почитаю.