Вопрос по Фостеру

[OlgaD]

Здравствуйте! Не могу сообразить одну вещь.

Известно, что любая мероморфная функция $f:S\rightarrow\mathbb{C}$ на римановой поверхности $S$ отождествляется с голоморфным отображением $f:S\rightarrow\overline{\mathbb{C}}$ на риманову сферу.

Возьмем функцию $f\in\mathcal{M}(S)$ с полюсами в точках множества $P.$ Полагаем по определению для каждой точки $p\in P$ $f(p)=\infty,$ т.е. получаем непрерывное отображение $f:S\rightarrow\overline{\mathbb{C}}.$ Выберем две карты $\varphi:U\rightarrow V$ на $X$ и $\psi:U'\rightarrow V'$ на $\overline{\mathbb C},$ такие, что $f(U)\subset U'.$ Надо показать, что отображение $g=\psi\circ f\circ\varphi^{-1}:V\rightarrow V'$ будет голоморфно. Мне понятно утверждение, что раз $f$ голоморфна на $X\setminus P,$ то $g$ голоморфно на $V\setminus\varphi(P).$ Но затем предлагается применить теорему Римана об устранимой особенности для каждой точки $\varphi(p).$ Но в теореме Римана требуется ограниченность функции в проколотой окрестности особой точки, а я никак не могу сообразить почему это так для функции $g.$ Помогите, пожалуйста!

[Brukvalub]

OlgaD в сообщении #842330 писал(а):

Здравствуйте! Не могу сообразить одну вещь.

Известно, что любая мероморфная функция $f:S\rightarrow\mathbb{C}$ на римановой поверхности $S$ отождествляется с голоморфным отображением $f:S\rightarrow\overline{\mathbb{C}}$ на риманову сферу.

Возьмем функцию $f\in\mathcal{M}(S)$ с полюсами в точках множества $P.$ Полагаем по определению для каждой точки $p\in P$ $f(p)=\infty,$ т.е. получаем непрерывное отображение $f:S\rightarrow\overline{\mathbb{C}}.$ Выберем две карты $\varphi:U\rightarrow V$ на $X$ ...

С этого места текст перестал быть осмысленным, поскольку ранее нигде не оговаривалось, что есть $X$...

[OlgaD]

Прошу прощения, $X=S$ опечаталась

[Brukvalub]

Вопрос: каково определение карты?

[OlgaD]

Карта на римановой поверхности - это гомеоморфизм $\varphi:U\rightarrow V\subset\mathbb{C}$

[Brukvalub]

Разве отсюда не следует ограниченность $g$?

[OlgaD]

Не уверена. Не могли бы Вы пояснить откуда?

[Brukvalub]

Как я понял. за время мокего отсутствия вопрос не закрылся. Разъясняю:
Отображение $g$ непрерывно на открытом множестве $V$ и отображает $V$ в комплексную плоскость. Каждая точка $V$ имеет в нем компактно принадлежащую $V$ окрестность, замыкание которой есть компакт. Непрерывный образ компакта при отображении g есть компакт в комплексной плоскости, то есть ограниченное множество. Тем самым, $g$ локально ограничено на $V$.

[OlgaD]

Спасибо за помощь. Непрерывность на всем $V$ функции $g$ я как-то просмотрела и была уверена только в непрерывности на множестве $V\setminus\varphi(P).$ А из чего следует существование таких окрестностей?

Я вообще-то, сначала подумала, что на римановой сфере каждое множество ограничено. А следовательно, множество $V'\in\overline{\mathbb{C}}$ - множество значений функции $g$ - ограничено.

[Brukvalub]

Думаю, ответы на последние вопросы - излишни, вы уже перестаете думать самостоятельно.

[OlgaD]

Вообще-то, непрерывность функции $g$ следует из композиции соответствующих непрерывных отображений. Что же, буду думать дальше. Еще раз спасибо за помощь.