Обратный элемент в поле комплексных чисел

[TelmanStud]

Доброго дня!
Подскажите пожалуйста как вычислить обратный элемент
$(a+ib)^{-1}$, не подразумевая, что $(a+ib)^{-1}=\cfrac{1}{(a+ib)}$

[Sonic86]

По определению

[Евгений Машеров]

Эээ... Искать в виде $x+yi$, потребовав, чтобы $(a+bi)(x+yi)=1$
Выписать уравнения отдельно для действительной и мнимой частей и решить их относительно x, y.

[TelmanStud]

Евгений Машеров в сообщении #842252 писал(а):

Эээ... Искать в виде $x+yi$, потребовав, чтобы $(a+bi)(x+yi)=1$
Выписать уравнения отдельно для действительной и мнимой частей и решить их относительно x, y.

Но при введении поля комплексных чисел не определено, когда два числа равны. Разве можно будет утверждать, что мнимые части и реальные части равны по отдельности?

-- 28.03.2014, 16:51 --

Или все таки можно сделать так, а потом из утверждения единственности обратного элемента, согласится, что это и есть обратный элемент

[Sonic86]

TelmanStud в сообщении #842264 писал(а):

Но при введении поля комплексных чисел не определено, когда два числа равны. Разве можно будет утверждать, что мнимые части и реальные части равны по отдельности?

есс-но

[kp9r4d]

Если $a_1+b_1i=a_2+b_2i$ — различные представления одного и того же комплексного числа, то
$a_1-a_2=(b_2-b_1)i$
возведя это в квадрат получим
$(a_1-a_2)^2+(b_2-b_1)^2=0$
откуда
$a_1=a_2$
$b_1=b_2$

[TelmanStud]

спасибо

[bot]

TelmanStud в сообщении #842233 писал(а):

как вычислить обратный элемент
$(a+ib)^{-1}$, не подразумевая, что $(a+ib)^{-1}=\cfrac{1}{(a+ib)}$

А как можно этого не подразумевать? Если обратный - вовсе даже и не обратный, то надо сформулировать, кто же он такой.