Ряд Маклорена

[Limit79]

Otta
Ведь пятая степень будет только при умножении $\frac{x^3}{3} \cdot x^2 = \frac{x^5}{3}$

[Otta]

Limit79 в сообщении #842002 писал(а):

Ведь пятая степень будет только при умножении $\frac{x^3}{3} \cdot x^2 = \frac{x^5}{3}$

Limit79
Ряд длинный. Слагаемых в нем много. А вы "видите" только те, что написаны.
Причем тут Вольфрам?
К-ты неверны.

[Limit79]

provincialka в сообщении #842001 писал(а):

из каких слагаемых получился коэффициент при $x$? При $x^2$? При $x^3$? И далее.

$$x \cdot (1) + x^2 \cdot \left ( -1 - \frac{1}{2} \right ) + x^3 \left ( 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right ) + x^4 \cdot \left ( -\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right ) +x^5 \cdot \frac{1}{3} + ...$$

-- 28.03.2014, 00:55 --

Otta
А, понял Вашу мысль.

-- 28.03.2014, 00:59 --

И далее

$$x \cdot (1) - x^2 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{2} \right ) + x^3 \left ( 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right ) - x^4 \cdot \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right ) +x^5 \cdot \frac{1}{3} + ...$$

[provincialka]

Limit79, похоже, не поняли. Выпишете, скажем, по 5 слагаемых в каждом ряде. Что изменится?

[Limit79]

provincialka
Может быть вот так:

$$x \cdot (1) - x^2 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{2} \right ) + x^3 \left ( 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right ) - x^4 \cdot \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right ) +x^5 \cdot \left ( \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right ) + ...$$

?

[provincialka]

О боже моЙ! Вы такими темпами, по одному слагаемому до завтра будете формулу считать...
Вопрос: может ли перед $x^4$ оказаться еще и единица? В смысле $-1$? И перед пятой степень тоже.

[Limit79]

provincialka

$$x \cdot (1) - x^2 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{2} \right ) + x^3 \left ( 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right ) - x^4 \cdot \left (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right ) +x^5 \cdot \left (1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right ) + ...$$

Вот, судя по всему так.

[provincialka]

Именно! И как ведут себя коэффициенты этого ряда?

[Limit79]

И

$$x \cdot (1) - x^2 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{2} \right ) + x^3 \left ( 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right ) - x^4 \cdot \left (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right )+$$

$$+x^5 \cdot \left (1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right ) + ... + (-1)^{n-1} x^n \cdot \left (1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3}+ ... + \frac{1}{n} \right )$$

-- 28.03.2014, 01:12 --

provincialka
Как гармонический ряд?

-- 28.03.2014, 01:21 --

Limit79 в сообщении #842023 писал(а):

И как ведут себя коэффициенты этого ряда?

Возрастают.

[marij]

То как вы умножали ряды в начале, у Ландо называется произведением Даламбера.

[provincialka]

Limit79 в сообщении #842023 писал(а):

И как ведут себя коэффициенты этого ряда?
Возрастают.

provincialka в сообщении #841980 писал(а):

Только для этого надо [...]знать кое-что о гармоническом ряде

[Limit79]

Если бы знать формулу для частичной суммы гармонического ряда, я бы нашел формулу для общего члена исходного ряда, но я ее ($S_{n}$ для гармонического ряда) не знаю.

-- 28.03.2014, 01:27 --

provincialka
Он расходится, это?

-- 28.03.2014, 01:31 --

ewert в сообщении #841962 писал(а):

коэффициенты результирующего ряда ничем лучшим, чем некие суммы, представить и не удастся

А как же тогда общий член ряда найти? Для поиска радиуса сходимости.

-- 28.03.2014, 01:37 --

Смею предположить, что радиус сходимости будет $0$, так как в

$$a_{n} = (-1)^{n-1} x^n \cdot \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$

фигурирует гармонический ряд, который расходится.

[provincialka]

Ну и что, что расходится? У ряда $\sum nx^n$ тоже коэффициенты стремятся к бесконечности. Но радиус сходимости не 0.
Сумму $H_n$ гармонического ряда нельзя упростить, но можно оценить.