2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:01 
Здравствуйте, уважаемые участники форума!

Пытаюсь решить такую задачу: разложить в ряд Маклорена функцию $$y = \frac{\ln(x+1)}{x+1}$$

Есть идея представить функцию в виде $$y = \ln(x+1) \cdot \frac{1}{x+1}$$ и перемножить ряды множителей, но получается неверно.

Наведите, пожалуйста, на верную мысль :|

 
 
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:06 
Аватара пользователя
А что у вас получилось? И почему вы считаете, что ваш ответ неправильный? Там ничего особо хорошего не получается.

 
 
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:08 
Limit79 в сообщении #841955 писал(а):
и перемножить ряды множителей, но получается неверно.

Что значит -- неверно?... что именно получается-то?...

Естественно, ничего особо так хорошего получиться и не сможет. Т.е. коэффициенты результирующего ряда ничем лучшим, чем некие суммы, представить и не удастся.

 
 
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:14 
provincialka
$$\ln(x+1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}$$
$$\frac{1}{x+1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-x)^{n-1}$$

$$\frac{\ln(x+1)}{x+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n (-x)^{n-1}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{n}$$

Но $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{n} = - \frac{\ln(1-x^2)}{x} \neq \frac{\ln(x+1)}{x+1}$$

-- 28.03.2014, 00:14 --

ewert в сообщении #841962 писал(а):
Что значит -- неверно?

Полученный ряд не сходится к исходной функции.

 
 
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:16 
Кто ж так ряды умножает. :-(

 
 
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:17 
Аватара пользователя
Действительно, неверно. Кто же так многочлены (а тем более ряды) перемножает! Почленно! Выпишите первые слагаемые через $+$, а не через знак суммы.

 
 
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:20 
Otta в сообщении #841973 писал(а):
Кто ж так ряды умножает.

Была у меня такая мысль :|

Ну да, там же каждое слагаемое на каждое надо умножать...

provincialka
А после этого возможно будет получить общий член ряда? Просто дальше нужно найти радиус сходимости полученного ряда.

 
 
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:22 
Аватара пользователя
Возможно, я уже сделала и то и другое. Только для этого надо либо 1) знать кое-что о гармоническом ряде, либо 2) воспользоваться общей теоремой о перемножении рядов.

 
 
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:25 
provincialka в сообщении #841975 писал(а):
Выпишите первые слагаемые через $+$, а не через знак суммы.

$$(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...) \cdot (1-x+x^2+...) $$

 
 
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:27 
provincialka в сообщении #841980 писал(а):
либо 1) знать кое-что о гармоническом ряде, либо 2) воспользоваться общей теоремой о перемножении рядов.

... либо выйти в комплексную плоскость, где радиус сх-сти очевиден.

 
 
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:29 
Аватара пользователя
Limit79 в сообщении #841982 писал(а):
$$(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...) \cdot (1-x+x^2+...) $$
Вот вот. Раскрываем скобки и приводим подобные. Глядишь, закономерность и заметите.

 
 
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:29 
provincialka в сообщении #841980 писал(а):
1) знать кое-что о гармоническом ряде, либо 2) воспользоваться общей теоремой о перемножении рядов.

Пробую сейчас второй вариант.

Otta в сообщении #841983 писал(а):
... либо выйти в комплексную плоскость, где радиус сх-сти очевиден.

Задачка-то вообще должна простая быть, обязана :D

-- 28.03.2014, 00:41 --

provincialka в сообщении #841986 писал(а):
Раскрываем скобки и приводим подобные. Глядишь, закономерность и заметите.


$$(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...) \cdot (1-x+x^2+...) = x - \frac{3x^2}{2} + \frac{11x^3}{6} - \frac{5x^4}{6} + \frac{x^5}{3}+...$$

Не вижу :|

 
 
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:45 
Limit79 в сообщении #841987 писал(а):
Не вижу

:) Вы видите только те слагаемые, которые написали.
Два последних коэффициента найдены неверно.

 
 
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:48 
Otta в сообщении #841999 писал(а):
Два последних коэффициента найдены неверно.

Проверял через wolfram alpha.

 
 
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:48 
Аватара пользователя
Limit79, а вы не приводите к общему знаменателю. Например, из каких слагаемых получился коэффициент при $x$? При $x^2$? При $x^3$? И далее.

 
 
 [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group