Ряд Маклорена

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые участники форума!

Пытаюсь решить такую задачу: разложить в ряд Маклорена функцию

$$y = \frac{\ln(x+1)}{x+1}$$

Есть идея представить функцию в виде

$$y = \ln(x+1) \cdot \frac{1}{x+1}$$

и перемножить ряды множителей, но получается неверно.

Наведите, пожалуйста, на верную мысль

[provincialka]

А что у вас получилось? И почему вы считаете, что ваш ответ неправильный? Там ничего особо хорошего не получается.

[ewert]

Limit79 в сообщении #841955 писал(а):

и перемножить ряды множителей, но получается неверно.

Что значит -- неверно?... что именно получается-то?...

Естественно, ничего особо так хорошего получиться и не сможет. Т.е. коэффициенты результирующего ряда ничем лучшим, чем некие суммы, представить и не удастся.

[Limit79]

provincialka

$$\ln(x+1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}$$

$$\frac{1}{x+1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-x)^{n-1}$$

$$\frac{\ln(x+1)}{x+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n (-x)^{n-1}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{n}$$

Но

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{n} = - \frac{\ln(1-x^2)}{x} \neq \frac{\ln(x+1)}{x+1}$$

-- 28.03.2014, 00:14 --

ewert в сообщении #841962 писал(а):

Что значит -- неверно?

Полученный ряд не сходится к исходной функции.

[Otta]

Кто ж так ряды умножает.

[provincialka]

Действительно, неверно. Кто же так многочлены (а тем более ряды) перемножает! Почленно! Выпишите первые слагаемые через $+$, а не через знак суммы.

[Limit79]

Otta в сообщении #841973 писал(а):

Кто ж так ряды умножает.

Была у меня такая мысль

Ну да, там же каждое слагаемое на каждое надо умножать...

provincialka
А после этого возможно будет получить общий член ряда? Просто дальше нужно найти радиус сходимости полученного ряда.

[provincialka]

Возможно, я уже сделала и то и другое. Только для этого надо либо 1) знать кое-что о гармоническом ряде, либо 2) воспользоваться общей теоремой о перемножении рядов.

[Limit79]

provincialka в сообщении #841975 писал(а):

Выпишите первые слагаемые через $+$, а не через знак суммы.

$$(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...) \cdot (1-x+x^2+...) $$

[Otta]

provincialka в сообщении #841980 писал(а):

либо 1) знать кое-что о гармоническом ряде, либо 2) воспользоваться общей теоремой о перемножении рядов.

... либо выйти в комплексную плоскость, где радиус сх-сти очевиден.

[provincialka]

Limit79 в сообщении #841982 писал(а):

$$(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...) \cdot (1-x+x^2+...) $$

Вот вот. Раскрываем скобки и приводим подобные. Глядишь, закономерность и заметите.

[Limit79]

provincialka в сообщении #841980 писал(а):

1) знать кое-что о гармоническом ряде, либо 2) воспользоваться общей теоремой о перемножении рядов.

Пробую сейчас второй вариант.

Otta в сообщении #841983 писал(а):

... либо выйти в комплексную плоскость, где радиус сх-сти очевиден.

Задачка-то вообще должна простая быть, обязана

-- 28.03.2014, 00:41 --

provincialka в сообщении #841986 писал(а):

Раскрываем скобки и приводим подобные. Глядишь, закономерность и заметите.

$$(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...) \cdot (1-x+x^2+...) = x - \frac{3x^2}{2} + \frac{11x^3}{6} - \frac{5x^4}{6} + \frac{x^5}{3}+...$$

Не вижу

[Otta]

Limit79 в сообщении #841987 писал(а):

Не вижу

:) Вы видите только те слагаемые, которые написали.
Два последних коэффициента найдены неверно.

[Limit79]

Otta в сообщении #841999 писал(а):

Два последних коэффициента найдены неверно.

Проверял через wolfram alpha.

[provincialka]

Limit79, а вы не приводите к общему знаменателю. Например, из каких слагаемых получился коэффициент при $x$? При $x^2$? При $x^3$? И далее.