2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:01 


29/08/11
1759
Здравствуйте, уважаемые участники форума!

Пытаюсь решить такую задачу: разложить в ряд Маклорена функцию $$y = \frac{\ln(x+1)}{x+1}$$

Есть идея представить функцию в виде $$y = \ln(x+1) \cdot \frac{1}{x+1}$$ и перемножить ряды множителей, но получается неверно.

Наведите, пожалуйста, на верную мысль :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
А что у вас получилось? И почему вы считаете, что ваш ответ неправильный? Там ничего особо хорошего не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Limit79 в сообщении #841955 писал(а):
и перемножить ряды множителей, но получается неверно.

Что значит -- неверно?... что именно получается-то?...

Естественно, ничего особо так хорошего получиться и не сможет. Т.е. коэффициенты результирующего ряда ничем лучшим, чем некие суммы, представить и не удастся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:14 


29/08/11
1759
provincialka
$$\ln(x+1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}$$
$$\frac{1}{x+1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-x)^{n-1}$$

$$\frac{\ln(x+1)}{x+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n (-x)^{n-1}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{n}$$

Но $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{n} = - \frac{\ln(1-x^2)}{x} \neq \frac{\ln(x+1)}{x+1}$$

-- 28.03.2014, 00:14 --

ewert в сообщении #841962 писал(а):
Что значит -- неверно?

Полученный ряд не сходится к исходной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:16 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Кто ж так ряды умножает. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Действительно, неверно. Кто же так многочлены (а тем более ряды) перемножает! Почленно! Выпишите первые слагаемые через $+$, а не через знак суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:20 


29/08/11
1759
Otta в сообщении #841973 писал(а):
Кто ж так ряды умножает.

Была у меня такая мысль :|

Ну да, там же каждое слагаемое на каждое надо умножать...

provincialka
А после этого возможно будет получить общий член ряда? Просто дальше нужно найти радиус сходимости полученного ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Возможно, я уже сделала и то и другое. Только для этого надо либо 1) знать кое-что о гармоническом ряде, либо 2) воспользоваться общей теоремой о перемножении рядов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:25 


29/08/11
1759
provincialka в сообщении #841975 писал(а):
Выпишите первые слагаемые через $+$, а не через знак суммы.

$$(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...) \cdot (1-x+x^2+...) $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:27 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
provincialka в сообщении #841980 писал(а):
либо 1) знать кое-что о гармоническом ряде, либо 2) воспользоваться общей теоремой о перемножении рядов.

... либо выйти в комплексную плоскость, где радиус сх-сти очевиден.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Limit79 в сообщении #841982 писал(а):
$$(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...) \cdot (1-x+x^2+...) $$
Вот вот. Раскрываем скобки и приводим подобные. Глядишь, закономерность и заметите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:29 


29/08/11
1759
provincialka в сообщении #841980 писал(а):
1) знать кое-что о гармоническом ряде, либо 2) воспользоваться общей теоремой о перемножении рядов.

Пробую сейчас второй вариант.

Otta в сообщении #841983 писал(а):
... либо выйти в комплексную плоскость, где радиус сх-сти очевиден.

Задачка-то вообще должна простая быть, обязана :D

-- 28.03.2014, 00:41 --

provincialka в сообщении #841986 писал(а):
Раскрываем скобки и приводим подобные. Глядишь, закономерность и заметите.


$$(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...) \cdot (1-x+x^2+...) = x - \frac{3x^2}{2} + \frac{11x^3}{6} - \frac{5x^4}{6} + \frac{x^5}{3}+...$$

Не вижу :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:45 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Limit79 в сообщении #841987 писал(а):
Не вижу

:) Вы видите только те слагаемые, которые написали.
Два последних коэффициента найдены неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:48 


29/08/11
1759
Otta в сообщении #841999 писал(а):
Два последних коэффициента найдены неверно.

Проверял через wolfram alpha.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд Маклорена
Сообщение27.03.2014, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Limit79, а вы не приводите к общему знаменателю. Например, из каких слагаемых получился коэффициент при $x$? При $x^2$? При $x^3$? И далее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group