Неревалентное решения уравнений масксвелла

[Sicker]

Всякое ли решение уравнений максвелла удовлетворяет реальным возможным распределениям напряженности полей?
Вот скажем возьмем абсолютно пустой пространство без зарядов, и по физическим соображениям очевидно, что напряженности магнитного и электрического поля должны быть нуль
Но если мы рассмотрим такую конфигурацию поля- одно электрическое поле постоянной величины и направления в каждой точке, скажем по оси аппликат
оно будет удовлетворять уравнениям Максвелла, а физически эти поля некому поддерживать

[Nemiroff]

Не-какое решение? Или решения? Кого уравнения?

[Oleg Zubelevich]

а про начальные\краевые условия в пту не учат?

[Sicker]

Oleg_Zubelevich
а откуда мы знаем краевые условия, ведь заряды и токи должны все однозначно определять
из физических соображений

[Munin]

Sicker в сообщении #841740 писал(а):

а откуда мы знаем краевые условия, ведь заряды и токи должны все однозначно определять из физических соображений

Чтобы такое говорить, мы должны задать заряды и токи во всём бесконечном пространстве. И вообще говоря, ещё и граничные условия на бесконечности: и на бесконечности по времени, и на бесконечности пространственной, и на бесконечности по направлению $|\mathbf{r}|\sim c|t|$ ("волновой").

Даже если мы знаем заряды и токи во всём пространстве, условия на бесконечности должны выбираться из каких-то ещё физических соображений, например, из соображений космологии. Или чаще рассматривают условия изолированной системы: все заряды и токи расположены в некоторой области конечного диаметра, а вне этой области, на бесконечности все поля обращаются в нуль (внимание! не потенциалы!), и из бесконечности не приходит падающих волн. В такой постановке, можно не интересоваться условиями на временной бесконечности в прошлом: всё, что там было, может только испустить расходящиеся волны, которые нас не интересуют.

Но всё-таки, довольно часто рассматривают и задачу в ограниченной области пространства, и из физических соображений выбирают те или иные краевые и начальные условия (или граничные общего вида).

Например, поле вида $\mathbf{E}=(E_x,E_y,E_z)=\mathrm{const}$ вполне естественно возникает внутри большого плоского конденсатора. Бывают и другие ситуации для возникновения такого поля, в том числе, на огромных астрофизических масштабах, или внутри атома в микромире, и часто такое поле является удобным первым приближением для рассмотрения какого-то более сложного поля, возникшего в естественных или искусственных условиях. В таких ситуациях всегда физически находится, кому это поле поддерживать.

В искусственных ("игрушечных") теоретических задачах теорфизики, можно рассмотреть теорию электричества и электрического поля в ограниченном пространстве топологически сложной формы. Например, сфера или тор (нужной размерности). Из топологических соображений следует, что на сфере без зарядов ненулевого поля быть не может, а вот на торе - пожалуйста, и даже однородное.

[Toucan]

Oleg Zubelevich в сообщении #841736 писал(а):

а про начальные\краевые условия в пту не учат?

Oleg Zubelevich, замечание за личные выпады

[Sicker]

а если мы зададим в какой то момент времени напряженности магнитного и электрического поля на всем бесконечном пространстве, то оно будет однозначно определять дальнейшую эволюцию этого поля?
те она будет определяться двумя уравнениями максвелла, которые с роторами( и в уравнении, где присутствует ротор от магнитного поля, можно убрать ток зарядов, и оставить только производную от напряженности электрического поля, тк при движении зарядов изменяется и электрическое поле, те производная электрического поля по времени учитывает и ток зарядов, нет?)

[Munin]

Sicker в сообщении #844257 писал(а):

а если мы зададим в какой то момент времени напряженности магнитного и электрического поля на всем бесконечном пространстве, то оно будет однозначно определять дальнейшую эволюцию этого поля?

Не совсем.

Дело в том, что электрическое и магнитное поле - это не замкнутая физическая система. Они взаимодействуют ещё и с зарядами (и с движением зарядов - с токами; и с магнитами, образованными за счёт квантового движения зарядов). А заряды, с другой стороны, могут подвергаться действию каких-то сил неэлектромагнитного характера (они называются пондеромоторными; например, когда кто-то чисто механически передвигает заряженное тело; наиболее частые примеры в задачах - это силы в источниках ЭДС в электрических цепях, электрохимические, индукционные или другой природы).

Для теоретического исследования, чтобы не обсуждать сразу вообще весь мир и его взаимодействия, ограничиваются таким образом, рассматривают такие варианты задачи:
- электромагнитное поле без зарядов (в вакууме);
- электромагнитное поле с зарядами, но без пондеромоторных сил.
В первом случае, действительно, будет, как вы пишете, то есть начальные условия из электрического и магнитного полей вполне определяют всю дальнейшую эволюцию поля. Даже можно вставить в пространство какие-то диэлектрики и диа-/парамагнетики (и иногда проводники), главное, чтобы они были неподвижными.

Во втором случае, недостаточно задать только начальные условия для электрического и магнитного полей. Необходимо задать ещё и движение зарядов (и токов), причём не только в начале, но и на протяжении всего будущего времени. Тогда тоже можно найти всю дальнейшую эволюцию.

Или, вариант, можно задать начальные условия для электрического и магнитного полей, и механические уравнения для зарядов. То есть, например, сказать: "данная заряженная частица $q$ движется по 2 закону Ньютона как материальная точка с массой $m,$ и её начальные положение и скорость $\mathbf{r}_0,$ $\mathbf{v}_0$". И так - про все заряженные частицы.

Вот такие задачи - будут корректными, в том смысле, что данных ровно достаточно для решения (для нахождения всей эволюции поля), и не слишком мало (что дало бы много решений - недоопределённая задача), и не слишком много (что дало бы 0 решений - несовместные условия, переопределённая задача).

Это всё изучается в курсе "Уравнения математической физики". Плюс в курсе "Электродинамика", если он достаточно продвинутый (бывает по-разному).

Sicker в сообщении #844257 писал(а):

те она будет определяться двумя уравнениями максвелла, которые с роторами( и в уравнении, где присутствует ротор от магнитного поля, можно убрать ток зарядов, и оставить только производную от напряженности электрического поля, тк при движении зарядов изменяется и электрическое поле, те производная электрического поля по времени учитывает и ток зарядов, нет?)

Да, если все поля заданы вначале, и зарядов нет, то дальше их эволюцию можно рассчитывать по двум "роторным" уравнениям. Но два "дивергентных" уравнения необходимо проверить, чтобы они выполнялись для начальных условий. Если это так, то они будут дальше автоматически выполняться и дальше.

Если заряды есть, то уравнение $\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\rho$ должно проверяться и дальше. Хотя оно, по сути, не влияет на эволюцию электромагнитного поля, а накладывает условие на заряды: они должны сохраняться, по уравнению непрерывности $\operatorname{div}\mathbf{j}+\partial\rho/\partial t=0.$ Если заряды ему подчиняются, то можно это уравнение забыть.

Нет, ток зарядов в уравнении $\operatorname{rot}\mathbf{H}=(4\pi/c)\mathbf{j}+(1/c)\partial\mathbf{E}/\partial t$ нельзя убрать. Да, везде вокруг зарядов будет изменение электрического поля. Но в одной точке, где находятся сами заряды, кроме измерения электрического поля, необходимо учесть и движение самих зарядов. Иначе никто не "скажет" электромагнитному полю, что там вообще заряды двигаются.

[Sicker]

Спасибо, вроде разобрался

Цитата:

Если заряды есть, то уравнение $\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\rho$ должно проверяться и дальше. Хотя оно, по сути, не влияет на эволюцию электромагнитного поля, а накладывает условие на заряды: они должны сохраняться, по уравнению непрерывности $\operatorname{div}\mathbf{j}+\partial\rho/\partial t=0.$ Если заряды ему подчиняются, то можно это уравнение забыть.

а заряды всегда ему будут подчиняться, ведь закон непрерывности электрического заряда следует из одного роторного уравнения Максвелла, те если мы возьмем электрическое поле, то оно будет однозначно определять заряды через свою дивергенцию, и теперь мы можем задать любое распределение токов, и роторное магнитное уравнение "само" выполнит закон непрерывности, да?
И вот, давайте рассмотрим задачу
В бесконечно длинном цилиндре конечного радиуса постоянна плотность электрических зарядов, и отсутствуют токи
Рассчитать эволюцию поле, если в цилиндре появятся токи, плотность и направление которых одинаково и направлены они параллельно оси цилиндра, те суммарный заряд начал двигаться вдоль цилиндра
И пусть модуль тока пропорционален времени
Тогда чтобы воспользоваться уравнениями Максвелла для рассчета дальнейшей эволюции поля, мы должны задать начальные условия
НУ-начальное распределение электрического поля, магнитное поле будет нулевым, и зависимость движение тока от времени
И это однозначно определит эволюцию поля, да?

[Munin]

Отвечу позже.

[Munin]

Sicker в сообщении #845022 писал(а):

а заряды всегда ему будут подчиняться

Фактические заряды в природе - да. А вот те вымышленные, которые вы "скармливаете" математической задаче - могут и не подчиняться. Это будет по вашей вине, конечно, но надо будет знать, в чём ошибка.

Например, рассмотрим такое распределение зарядов и токов:
$\rho(x,y,z,t)=\begin{cases}\rho_1,&x^2+y^2+z^2<R^2,\quad t<T\\0&\text{иначе}\end{cases}$
$\mathbf{j}(x,y,z,t)=\mathbf{0}$
Очевидно, что здесь заряды не сохраняются. Был заряженный шар, и исчез бесследно. Но такие условия можно было бы задать для уравнений Максвелла. Вот только при этом одни уравнения будут давать одни решения, а другие уравнения - другие решения. В целом, решения не сойдутся.

Sicker в сообщении #845022 писал(а):

ведь закон непрерывности электрического заряда следует из одного роторного уравнения Максвелла

Нет. Не из одного роторного. Из двух: для ротора магнитного поля, и для дивергенции электрического поля.

Вообще, уравнения Максвелла удобно группировать по такому принципу: уравнения с источниками (электрические заряды и токи):

$$\begin{aligned}\operatorname{div}\mathbf{E}&=4\pi\rho\\\operatorname{rot}\mathbf{H}&=\dfrac{4\pi}{c}\mathbf{j}+\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t},\\\end{aligned}$$

и уравнения без источников:

$$\begin{aligned}\operatorname{div}\mathbf{H}&=0\\\operatorname{rot}\mathbf{E}&=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{H}}{\partial t}.\\\end{aligned}$$

Это разделение имеет тот смысл, что в 4-мерной формулировке, которая возникает в СТО (в специальной теории относительности), уравнения с источниками объединяются в одно 4-мерное уравнение

$$\dfrac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^\mu}=\dfrac{4\pi}{c}j^\nu,$$

а уравнения без источников - в другое одно 4-мерное уравнение

$$\varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu}\dfrac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda}=0.$$

Так что, такая группировка имеет глубокий физический смысл. Пока вы не изучаете СТО, можете о 4-мерных уравнениях не думать, но всё равно такая группировка помогает найти правильные преобразования уравнений в том или ином случае. Например, при выводе уравнения непрерывности надо взять два уравнения с источниками, и их преобразовывать.

Sicker в сообщении #845022 писал(а):

те если мы возьмем электрическое поле, то оно будет однозначно определять заряды через свою дивергенцию, и теперь мы можем задать любое распределение токов, и роторное магнитное уравнение "само" выполнит закон непрерывности, да?

Нет, как раз вы уже не сможете задать любое распределение токов. Вы сможете задать только такое распределение токов, которое отличается от $-(1/4\pi)\partial\mathbf{E}/\partial t$ только на ротор. А ротор - это не любое векторное поле, а только бездивергентное. Но вы это выполните - то тем самым, вы выполните и уравнение непрерывности.

-- 05.04.2014 18:26:54 --

Sicker в сообщении #845022 писал(а):

И вот, давайте рассмотрим задачу
В бесконечно длинном цилиндре конечного радиуса постоянна плотность электрических зарядов, и отсутствуют токи
Рассчитать эволюцию поле, если в цилиндре появятся токи, плотность и направление которых одинаково и направлены они параллельно оси цилиндра, те суммарный заряд начал двигаться вдоль цилиндра
И пусть модуль тока пропорционален времени
Тогда чтобы воспользоваться уравнениями Максвелла для рассчета дальнейшей эволюции поля, мы должны задать начальные условия
НУ-начальное распределение электрического поля, магнитное поле будет нулевым, и зависимость движение тока от времени
И это однозначно определит эволюцию поля, да?

Да.

Сами попробуете рассчитать? Здесь, в общем, достаточно обыкновенных дифференциальных уравнений.

[Sicker]

Цитата:

Нет. Не из одного роторного. Из двух: для ротора магнитного поля, и для дивергенции электрического поля.

да, согласен

Цитата:

Вообще, уравнения Максвелла удобно группировать по такому принципу: уравнения с источниками (электрические заряды и токи):

$$\begin{aligned}\operatorname{div}\mathbf{E}&=4\pi\rho\\\operatorname{rot}\mathbf{H}&=\dfrac{4\pi}{c}\mathbf{j}+\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t},\\\end{aligned}$$

и уравнения без источников:

$$\begin{aligned}\operatorname{div}\mathbf{H}&=0\\\operatorname{rot}\mathbf{E}&=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{H}}{\partial t}.\\\end{aligned}$$

Это разделение имеет тот смысл, что в 4-мерной формулировке, которая возникает в СТО (в специальной теории относительности), уравнения с источниками объединяются в одно 4-мерное уравнение

$$\dfrac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^\mu}=\dfrac{4\pi}{c}j^\nu,$$

а уравнения без источников - в другое одно 4-мерное уравнение

$$\varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu}\dfrac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\lambda}=0.$$

Так что, такая группировка имеет глубокий физический смысл. Пока вы не изучаете СТО, можете о 4-мерных уравнениях не думать, но всё равно такая группировка помогает найти правильные преобразования уравнений в том или ином случае. Например, при выводе уравнения непрерывности надо взять два уравнения с источниками, и их преобразовывать.

СТО я хорошо знаю И меня больше интересует ковариантная электродинамика, которую изучаю по ЛЛ2

Цитата:

Нет, как раз вы уже не сможете задать любое распределение токов. Вы сможете задать только такое распределение токов, которое отличается от $-(1/4\pi)\partial\mathbf{E}/\partial t$ только на ротор. А ротор - это не любое векторное поле, а только бездивергентное. Но вы это выполните - то тем самым, вы выполните и уравнение непрерывности.

Но, в том то и дело, что мы не знаем $-(1/4\pi)\partial\mathbf{E}/\partial t$ )) Оно будет как раз определяться из произвольного задания токов
Что касается распределения зарядов и токов во времени, то нам известна только начальная плотность зарядов, и соответственно какое-то распределение токов во времени и пространстве, и это однозначно определит и дальнейшие плотности зарядов из уравнения непрерывности

Цитата:

Сами попробуете рассчитать? Здесь, в общем, достаточно обыкновенных дифференциальных уравнений.

А там вроде только роторные уравнения, может распишите решение?)

[Munin]

Sicker в сообщении #845866 писал(а):

СТО я хорошо знаю

О, окей :-) Сразу надо было говорить.

Sicker в сообщении #845866 писал(а):

Но, в том то и дело, что мы не знаем $-(1/4\pi)\partial\mathbf{E}/\partial t$ ))

Как это не знаем? Мы знаем $\mathbf{E},$ потому что именно из него мы по вашему предложению берём дивергенцию, и получаем заряд. А уж продифференцировать по времени и ребёнок сможет.

Sicker в сообщении #845866 писал(а):

Что касается распределения зарядов и токов во времени, то нам известна только начальная плотность зарядов, и соответственно какое-то распределение токов во времени и пространстве, и это однозначно определит и дальнейшие плотности зарядов из уравнения непрерывности

Можно и так, конечно.

Sicker в сообщении #845866 писал(а):

А там вроде только роторные уравнения, может распишите решение?)

СТО он знает! Электродинамику он знает!

А мне лень! У меня хороший вечер субботы! Ладно, если не устану от остального форума, то вернусь, попишу что-нибудь...

-- 05.04.2014 22:11:17 --

Цилиндрическая система координат, полная симметрия по $\varphi$ и по $z.$

[Munin]

Уравнения Максвелла (базисные векторы единичной длины: $\hat{\boldsymbol{\rho}}=(x\mathbf{i}+y\mathbf{j})/\rho,\quad\hat{\boldsymbol{\varphi}}=(-y\mathbf{i}+x\mathbf{j})/\rho$):

$$\begin{alignedat}\\ &\rho^{-1}\partial_\rho(\rho E_\rho)+\rho^{-1}\partial_\varphi E_\varphi+\partial_z E_z&&=4\pi\varrho\\ &\rho^{-1}\partial_\varphi H_z-\partial_z H_\varphi&&=\dfrac{4\pi}{c}j_\rho+\dfrac{1}{c}\partial_t E_\rho\\ &\partial_z H_\rho-\partial_\rho H_z&&=\dfrac{4\pi}{c}j_\varphi+\dfrac{1}{c}\partial_t E_\varphi\\ &\rho^{-1}\partial_\rho(\rho H_\varphi)-\rho^{-1}\partial_\varphi H_\rho&&=\dfrac{4\pi}{c}j_z+\dfrac{1}{c}\partial_t E_z\\ &\rho^{-1}\partial_\rho(\rho H_\rho)+\rho^{-1}\partial_\varphi H_\varphi+\partial_z H_z&&=0\\ &\rho^{-1}\partial_\varphi E_z-\partial_z E_\varphi&&=-\dfrac{1}{c}\partial_t H_\rho\\ &\partial_z E_\rho-\partial_\rho E_z&&=-\dfrac{1}{c}\partial_t H_\varphi\\ &\rho^{-1}\partial_\rho(\rho E_\varphi)-\rho^{-1}\partial_\varphi E_\rho&&=-\dfrac{1}{c}\partial_t H_z\\ \end{alignedat}$$

(Дальше стёрто.)

-- 06.04.2014 00:00:25 --

Чё я туплю. Дальше рецепт известен: надо сделать из уравнений первого порядка волновые (второго порядка). И не надо было для этого цилиндрическую систему координат рисовать, хотя пускай.

[Munin]

Потратил весь вечер на перевывод вручную лапласиана в цилиндрических координатах. Хотя мог бы и списать. Больше ничего не достиг.