student писал(а):
Натуральное число

имеет ровно

делителей (включая

и

). Занумеруем их в порядке возрастания:

Известно, что делитель с номером

равен произведению

. Найдите

Заметим, что

не является полным квадратом и для любого

выполняется

.
Так как

является делителем

, то

Откуда заключаем, что

и

, а значит

.
Так как число делителей N равно 12, то N имеем вид:

,

,

или

, где

- различные простые, одно из которых равно

.
Понятно, что случай

невозможен.
Если

содержит ровно 2 различных простых делителя, то с необходимостью имеем:
i)

и

, а значит

, противоречие.
или
ii)

и степень двойки в разложении

равна 2. В этом случае

, а значит

, противоречие.
Если же

имеет вид

, где

- различные простые. Случаи

и

по сути рассмотрены выше. Если же

, то 13 обязано быть наибольшим простым делителем

. В этом случае небольшим перебором убеждаемся, что искомого

в таком виде не существует:
Код:
? test(N)=d=divisors(N);if(sum(i=1,4,d[i])==d[5],print(N))
? forprime(p=2,11,forprime(q=p+1,11,test(p*q*13^2);test(p*q^2*13);test(p^2*q*13)))
UPDATE: Похоже, это была ошибочная формулировка задачи
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=22001, которая в отличие от данной имеет решения.