Доказать неравенство интегралов.

[main.c]

Функции интегрируемы по Риману на $[a,b]$, доказать:
$(\int\limits_a^bf(x)g(x)dx)^2 \leqslant \int\limits_a^bf^2(x)dx \int\limits_a^bg^2(x)dx$

В учебнике дано указание рассмотреть квадратный трёхчлён относительно $\lambda$:
$\int\limits_a^b(f(x) - \lambda g(x))^2dx$

Рассматриваем:
$\int\limits_a^b(f(x) - \lambda g(x))^2dx = \int\limits_a^bf^2(x)dx - 2\lambda\int\limits_a^bf(x)g(x)dx + \lambda^2\int\limits_a^bg^2(x)dx \geqslant 0$
$\int\limits_a^bf^2(x) dx \geqslant 2\lambda\int\limits_a^bf(x)g(x)dx - \lambda^2\int\limits_a^bg^2(x)dx$

А как дальше?

[Otta]

Ваш квадратный трехчлен - зависит только от $\lambda$. График этой квадратичной функции можно построить. Она неотрицательна, как Вы заметили. Что можно сказать о дискриминанте этого трехчлена?

[main.c]

Otta в сообщении #841247 писал(а):

Ваш квадратный трехчлен - зависит только от $\lambda$. График этой квадратичной функции можно построить. Она неотрицательна, как Вы заметили. Что можно сказать о дискриминанте этого трехчлена?

То, что он неположителен.

-- 26.03.2014, 22:10 --

Спасибо, разобрался.

-- 26.03.2014, 22:54 --

А ещё вопрос, если мы добавим к условию, что функции непрерывны, то какое необходимое и достаточно условие для того, чтобы это неравенство принимало вид равенства? Ну совсем никаких идей.

[provincialka]

Все тот же дискриминант. У какого трехчлена он равен 0?

[ewert]

Это вообще бессмысленная постановка задачки. Мало ли где какие интегралы. А тут -- попросту скалярное произведение; и всё, что требуется -- это тупо доказать, что этот интеграл удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. Из которых неравенство Коши-Буняковского следует попросту автоматом, причём сугубо абстрактно.