2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказать неравенство интегралов.
Сообщение26.03.2014, 21:55 
Функции интегрируемы по Риману на $[a,b]$, доказать:
$(\int\limits_a^bf(x)g(x)dx)^2 \leqslant \int\limits_a^bf^2(x)dx \int\limits_a^bg^2(x)dx$

В учебнике дано указание рассмотреть квадратный трёхчлён относительно $\lambda$:
$\int\limits_a^b(f(x) - \lambda g(x))^2dx$

Рассматриваем:
$\int\limits_a^b(f(x) - \lambda g(x))^2dx = \int\limits_a^bf^2(x)dx - 2\lambda\int\limits_a^bf(x)g(x)dx +  \lambda^2\int\limits_a^bg^2(x)dx \geqslant 0$
$\int\limits_a^bf^2(x) dx \geqslant 2\lambda\int\limits_a^bf(x)g(x)dx -  \lambda^2\int\limits_a^bg^2(x)dx$

А как дальше?

 
 
 
 Re: Доказать неравенство интгегралов.
Сообщение26.03.2014, 21:59 
Ваш квадратный трехчлен - зависит только от $\lambda$. График этой квадратичной функции можно построить. Она неотрицательна, как Вы заметили. Что можно сказать о дискриминанте этого трехчлена?

 
 
 
 Re: Доказать неравенство интгегралов.
Сообщение26.03.2014, 22:04 
Otta в сообщении #841247 писал(а):
Ваш квадратный трехчлен - зависит только от $\lambda$. График этой квадратичной функции можно построить. Она неотрицательна, как Вы заметили. Что можно сказать о дискриминанте этого трехчлена?

То, что он неположителен.

-- 26.03.2014, 22:10 --

Спасибо, разобрался.

-- 26.03.2014, 22:54 --

А ещё вопрос, если мы добавим к условию, что функции непрерывны, то какое необходимое и достаточно условие для того, чтобы это неравенство принимало вид равенства? Ну совсем никаких идей.

 
 
 
 Re: Доказать неравенство интгегралов.
Сообщение28.03.2014, 00:15 
Аватара пользователя
Все тот же дискриминант. У какого трехчлена он равен 0?

 
 
 
 Re: Доказать неравенство интгегралов.
Сообщение28.03.2014, 21:43 
Это вообще бессмысленная постановка задачки. Мало ли где какие интегралы. А тут -- попросту скалярное произведение; и всё, что требуется -- это тупо доказать, что этот интеграл удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. Из которых неравенство Коши-Буняковского следует попросту автоматом, причём сугубо абстрактно.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group