2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.
 
 Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение26.03.2014, 01:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Предлагаю только без банальностей типа $e^{2\pi i}=1$. Начну:
$$
\int\limits_0^1 x^{-x}\,dx=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}n^{-n}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные красивые соотношения
Сообщение26.03.2014, 01:46 
Заблокирован
Аватара пользователя


01/09/12

245
Примерно, так:

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$


Повысилась степень и упростилось выражение(представление).

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные красивые соотношения
Сообщение26.03.2014, 02:20 


20/03/14
12041
 !  hypersphere, предупреждение за оффтоп и бессодержательные сообщения, третье за последнюю неделю по данному поводу. Неделя отдыха.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные красивые соотношения
Сообщение28.03.2014, 20:55 


30/10/12

87
Автор топика, то, что вы написали, разве не банальность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные красивые соотношения
Сообщение28.03.2014, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Ну не знаю, у меня не сразу получилось доказать, так что для меня, наверное, не банальность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные красивые соотношения
Сообщение28.03.2014, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
g______d
Тема сформулирована очень размыто. "Малоизвестность" -- субъективное понятие, "красота" -- тоже.
Я бы привел примеры из теории дзета-функции, но для кого-то они будут хорошо известными, а кто-то не увидит в них красоты. Потому воздержался. Хотя Ваша задумка хороша.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные красивые соотношения
Сообщение28.03.2014, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Ну да, похоже, внятно сформулировать мне не удалось. Но, может быть, если Вы тоже начнете, то тема самоорганизуется :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные красивые соотношения
Сообщение28.03.2014, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Как я понимаю, интересны точные равенства (не асимптотические), которые содержат некий "элемент неожиданности". Тогда могут подойти такие
$$
\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}=\prod_p\left(1-\frac1{p^s}\right)^{-1}
$$
$$
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-\pi n^2\frac1x}=\sqrt x\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-\pi n^2x}
$$
и в каком-то смысле родственные
$$
\sum_{n=0}^\infty p(n)s^n=\prod_{n=1}^\infty\frac1{1-s^n}
$$
$$
e^{-\frac{\pi}{12x}}\prod_{n=1}^\infty\bigl(1-e^{-2\pi n\frac1x}\bigr)=\sqrt xe^{-\frac{\pi x}{12}}\prod_{n=1}^\infty\bigl(1-e^{-2\pi nx}\bigr)
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение29.03.2014, 12:34 
Заслуженный участник


31/12/05
1509
$$\sqrt{\frac{\pi e}{2}} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1 + \cfrac{3}{1 + \cfrac{4}{1 + \cfrac{5}{1 + \cfrac{6}{1 + \cfrac{7}{1 + \cfrac{8}{\ddots}}}}}}}}} ~+~  \Bigg\{ 1 + \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5} + \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} + \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9} + \cdots \Bigg\}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение29.03.2014, 12:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
ex-math
Что такое $p(n)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение29.03.2014, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
kp9r4d
Количество разбиений $n$, т.е. число представлений $n$ суммой натуральных чисел, без учета порядка слагаемых. По определению полагают $p(0)=1$.

-- 29.03.2014, 15:34 --

Да, в теме предполагаются наверно соотношения из области анализа, не требующие дополнительных пояснений, вроде того, что пришлось сделать для $p(n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение29.03.2014, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
$$
\pi^{-\frac s2}\Gamma\Bigl(\frac s2\Bigr)\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}=\pi^{-\frac {1-s}2}\Gamma\Bigl(\frac {1-s}2\Bigr)\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{1-s}}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение29.03.2014, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Эх, хотел без дополнительных обозначений обойтись, и вышла ерунда. Если ряд слева сходится, то справа расходится, и наоборот :oops: Надо ряды заменить на $\zeta(s)$ и $\zeta(1-s)$, соответственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение29.03.2014, 23:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
ex-math в сообщении #842679 писал(а):
Да, в теме предполагаются наверно соотношения из области анализа, не требующие дополнительных пояснений, вроде того, что пришлось сделать для $p(n)$.

Почему же, мне очень понравились ваши соотношения, первое я даже вроде как доказал; а третее (то самое соотношение с $p(n)$) доказал лишь в смысле производящих функций, осталось доказать то, что либо беск. произведение, либо ряд существуют. :3
Просто, если вам не сложно, пишите пояснения ко всяким странным значкам (хотя бы название функции, чтобы нагуглить можно было).

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение30.03.2014, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Третье соотношение справедливо при $|s|<1$, а в этой области сходимость произведения очевидна.
Первое называется тождеством Эйлера и замечательно тем, что аналитически выражает единственность разложения натурального числа на простые множители. Третье -- как бы его аддитивный аналог, тут единственности уже нет -- вот и вылезает та самая $p(n)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 117 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group