Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения

[g______d]

Предлагаю только без банальностей типа $e^{2\pi i}=1$. Начну:

$$ \int\limits_0^1 x^{-x}\,dx=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}n^{-n} $$

[hypersphere]

Примерно, так:

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Повысилась степень и упростилось выражение(представление).

[Lia]

hypersphere, предупреждение за оффтоп и бессодержательные сообщения, третье за последнюю неделю по данному поводу. Неделя отдыха.

[Anixx]

Автор топика, то, что вы написали, разве не банальность?

[g______d]

Ну не знаю, у меня не сразу получилось доказать, так что для меня, наверное, не банальность.

[ex-math]

g______d
Тема сформулирована очень размыто. "Малоизвестность" -- субъективное понятие, "красота" -- тоже.
Я бы привел примеры из теории дзета-функции, но для кого-то они будут хорошо известными, а кто-то не увидит в них красоты. Потому воздержался. Хотя Ваша задумка хороша.

[g______d]

Ну да, похоже, внятно сформулировать мне не удалось. Но, может быть, если Вы тоже начнете, то тема самоорганизуется :)

[ex-math]

Как я понимаю, интересны точные равенства (не асимптотические), которые содержат некий "элемент неожиданности". Тогда могут подойти такие

$$ \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}=\prod_p\left(1-\frac1{p^s}\right)^{-1} $$

$$ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-\pi n^2\frac1x}=\sqrt x\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-\pi n^2x} $$

и в каком-то смысле родственные

$$ \sum_{n=0}^\infty p(n)s^n=\prod_{n=1}^\infty\frac1{1-s^n} $$

$$ e^{-\frac{\pi}{12x}}\prod_{n=1}^\infty\bigl(1-e^{-2\pi n\frac1x}\bigr)=\sqrt xe^{-\frac{\pi x}{12}}\prod_{n=1}^\infty\bigl(1-e^{-2\pi nx}\bigr) $$

[tolstopuz]

$$\sqrt{\frac{\pi e}{2}} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1 + \cfrac{3}{1 + \cfrac{4}{1 + \cfrac{5}{1 + \cfrac{6}{1 + \cfrac{7}{1 + \cfrac{8}{\ddots}}}}}}}}} ~+~ \Bigg\{ 1 + \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5} + \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} + \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9} + \cdots \Bigg\}$$

[kp9r4d]

ex-math
Что такое $p(n)$?

[ex-math]

kp9r4d
Количество разбиений $n$, т.е. число представлений $n$ суммой натуральных чисел, без учета порядка слагаемых. По определению полагают $p(0)=1$.

-- 29.03.2014, 15:34 --

Да, в теме предполагаются наверно соотношения из области анализа, не требующие дополнительных пояснений, вроде того, что пришлось сделать для $p(n)$.

[ex-math]

$$ \pi^{-\frac s2}\Gamma\Bigl(\frac s2\Bigr)\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}=\pi^{-\frac {1-s}2}\Gamma\Bigl(\frac {1-s}2\Bigr)\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{1-s}} $$

[ex-math]

Эх, хотел без дополнительных обозначений обойтись, и вышла ерунда. Если ряд слева сходится, то справа расходится, и наоборот Надо ряды заменить на $\zeta(s)$ и $\zeta(1-s)$, соответственно.

[kp9r4d]

ex-math в сообщении #842679 писал(а):

Да, в теме предполагаются наверно соотношения из области анализа, не требующие дополнительных пояснений, вроде того, что пришлось сделать для $p(n)$.

Почему же, мне очень понравились ваши соотношения, первое я даже вроде как доказал; а третее (то самое соотношение с $p(n)$) доказал лишь в смысле производящих функций, осталось доказать то, что либо беск. произведение, либо ряд существуют. :3
Просто, если вам не сложно, пишите пояснения ко всяким странным значкам (хотя бы название функции, чтобы нагуглить можно было).

[ex-math]

Третье соотношение справедливо при $|s|<1$, а в этой области сходимость произведения очевидна.
Первое называется тождеством Эйлера и замечательно тем, что аналитически выражает единственность разложения натурального числа на простые множители. Третье -- как бы его аддитивный аналог, тут единственности уже нет -- вот и вылезает та самая $p(n)$.