Релятивистская сила и натяжение

[zer0]

С $4-x$ вектором скорости вроде понятно, а вот с $4-x$ силой не очень.
Возьмем два тела массы M и m, M>>m, соединим нитью и раскрутим вокруг общего центра масс.
Сила, действующая на тело - это производная импульса: $\vec{F}=d(\gamma m \vec{v})/dt$.
Дифференцируем, раскрываем скобки: $\frac {md\vec{v}} {dt}=\frac 1 {\gamma} \left(\vec{F}-\frac {\vec{v}(\vec{F}\vec{v})} {c^2} \right)$.

Можем взять производную 4-мерного импульса: $\vec{G}=\frac {d\vec{P}} {ds}=(\gamma \vec{F}\vec{v},\gamma \vec{F})$, где $\vec{F}$ 3-х мерная сила. Инвариант =$|F| (модуль разницы квадратов пространственных и временных компонент).
Теперь рассмотрим момент, когда m вверху (движется по X вправо). На него действует сила f=$\frac {m\gamma v^2}{r} $, направленная вниз по y. Эта сила в $\gamma$ раз больше классической $f_0=\frac {m v^2}{r} $$
Компоненты инварианта для тела m равны $(0,0,\gamma f,0)$=(0,0,\gamma^2 f_0,0) , т.е. сам инвариант $\gamma{^2} f_0$. В ИСО, которая движется со скоростью тела $m$ в верхней точке, тело движется по циклоиде и оно останавливается в верхней точке. В этот момент компоненты G равны $(0,0,\gamma^2 f_0,0)$, т.е. 3-х мерная сила в $\gamma ^2$ больше (в движущейся ИСО $\gamma_m$ тела m равна 1).

А теперь главный вопрос темы: какова сила натяжения нити - $\gamma ^2 f_0$ или $\gamma f_0$? Вроде как натяжение нити должно быть одинаково на обоих концах и не зависеть от ИСО...

[rustot]

zer0 в сообщении #840458 писал(а):

Вроде как натяжение нити должно... не зависеть от ИСО...

сила не инвариант. а когда орбита становится некруговой и $\gamma$ становится функцией от $t$, формула производной импульса выглядит уже не так для обоих тел

[zer0]

Я в неподвижной системе смотрю, как вращаются два тела вокруг общего ЦМ. В этой системе все симметрично и сила натяжения не зависит от времени. Вот я и беру момент, когда тело m вверху и считаю для этого момента скорости, ускорения, силы в двух ИСО. Странно, но эта сила зависит от ИСО... Может получиться, что в одной ИСО нить рвется, а в другой - нет, т.к. там сила в $\gamma$ раз меньше.

[iifat]

rustot в сообщении #840543 писал(а):

сила не инвариант

А можно для тупых, поподробнее? Вот я вставляю в середину нити динамометр. Показания ж его не зависят от СО?

[Munin]

zer0 в сообщении #840458 писал(а):

Возьмем два тела массы M и m, M>>m, соединим нитью и раскрутим вокруг общего центра масс.

Проблема в том, что саму по себе такую механическую систему нельзя "релятивизировать".

Посмотрите, как она выглядит в рамках классической механики: если на какое-то из тел действует дополнительная внешняя сила, то это мгновенно влияет и на само это тело, и на силу натяжения нити, и по нити мгновенно передаётся на другое тело. В релятивистском случае передать взаимодействие мгновенно невозможно, и не потому, что заклинание, что всё распространяется не быстрее скорости света, а потому, что даже если мы захотим такое вообразить, результат будет зависеть от системы отсчёта.

Итак, реально такая система должна рассматриваться в СТО на более подробном уровне: два тела, и нить, которая уже не прямая линия и "мгновенный передатчик", а в каждый момент времени имеет некоторое распределение натяжения вдоль себя. Может менять форму (например, если один её конец потянули поперёк, но до другого конца это движение ещё не распространилось). И так далее. В общем, такая нить подобна непрерывной среде, или полю. Поэтому говорят, что в СТО нет механики протяжённых тел, а сразу возникает теория поля.

zer0 в сообщении #840458 писал(а):

Можем взять производную 4-мерного импульса: $\vec{G}=\frac {d\vec{P}} {ds}=(\gamma \vec{F}\vec{v},\gamma \vec{F})$, где $\vec{F}$ 3-х мерная сила. Инвариант =$|F| (модуль разницы квадратов пространственных и временных компонент).

Это не называется "инвариант" (инвариантов бывает много разных), это называется "модуль вектора" (здесь модуль вектора 4-силы).

И что неприятней, это модуль вектора силы, измеренной в собственной системе отсчёта ускоряющегося тела. А в других ИСО 3-мерная сила будет другой величины. И полагаться на неё нельзя (точнее, можно, если измерить отдельно продольную и поперечную компоненты, и засунуть в более сложную формулу).

zer0 в сообщении #840458 писал(а):

Компоненты инварианта для тела m равны $(0,0,\gamma f,0)$=(0,0,\gamma^2 f_0,0) , т.е. сам инвариант $\gamma{^2} f_0$.

Вот опять неправильное употребление слов. Инвариант - это всегда скаляр. У него нет компонентов. Компоненты бывают у 4-вектора. И как понять, чего вы сказали?

zer0 в сообщении #840458 писал(а):

А теперь главный вопрос темы: какова сила натяжения нити - $\gamma ^2 f_0$ или $\gamma f_0$? Вроде как натяжение нити должно быть одинаково на обоих концах и не зависеть от ИСО...

К сожалению, с нитью всё ещё хуже, чем с телом. Вопрос с нитью вам придётся отложить до ЛЛ-2 § 32, где будет рассказано об аналоге величин силы и натяжения для протяжённых сред, тел и полей. Он называется тензор энергии-импульса.

-- 25.03.2014 16:15:19 --

iifat в сообщении #840578 писал(а):

Вот я вставляю в середину нити динамометр. Показания ж его не зависят от СО?

Не зависят. Но они зависят от скорости движения динамометра. И с нитью всё вообще очень плохо, потому что см. выше.

[rustot]

iifat в сообщении #840578 писал(а):

А можно для тупых, поподробнее? Вот я вставляю в середину нити динамометр. Показания ж его не зависят от СО?

не зависят. но он в движении перестает быть прибором откалиброванным для измерения силы в нашей исо, так же как допустим и часы перестают быть прибором откалиброванным на измерение времени в нашей исо. то есть если вы сравните показания этого динамометра с силой измеренной альтернативным способом через $\vec{F} = \vec{dp}/dt$ то он покажет неверное значение. тогда как показывал верное при аналогичном сравнении пока был неподвижным

Munin в сообщении #840587 писал(а):

К сожалению, с нитью всё ещё хуже, чем с телом. Вопрос с нитью

но можно ведь нить из рассмотрения вообще исключить, а оставите "некие" две независимые силы, под действием которых два тела движутся именно вот по такой траектории. ну реактивный двигатель на каждом из них

[zer0]

Давайте вставим цифровой динамометр в месте крепления нити к телу m. Система в ИСО вращается в постоянной угловой скоростью, переходный процессы закончились (в пределах нужной нам точности) и динамометр показывает какое-то значение.

Теперь перешли и ИСО', которая движется с постоянной скоростью и в момент $t=0$ тело m относительно этой ИСО' стоит. К нему прицеплена нить, которая куда-то тянет тело m. В моменты около с $t=0$ тело m относительно ИСО двигается нерелятивистки и значения сил, скоростей и ускорений должны быль близки к классическим. Скорости и ускорения можно посчитать по Лоренцу.

У меня расчет дает, что ускорение в $\gamma^2 раз больше, чем в классике и поскольку скорости малы, то и сила требуется в $\gamma^2 раз больше. А это не совпадает с $\gamma f_0 для неподвижной ИСО.

В конце-концов, как вычислить показания динамометра ?

Munin в сообщении #840587 писал(а):

Вот опять неправильное употребление слов. Инвариант - это всегда скаляр. У него нет компонентов. Компоненты бывают у $4-x$ вектора. И как понять, чего вы сказали?

Если подробнее, то так: есть $4-x$ вектор, длина которого инвариант. Зная его компоненты в одной системе и зная, какие компоненты нулевые в другой, можно (иногда) определить значение вектора, основываясь на модуле и смысле компонент (без детального расчета). В учебных задачах по СТО это не редкость.

[Munin]

rustot в сообщении #840593 писал(а):

но можно ведь нить из рассмотрения вообще исключить, а оставите "некие" две независимые силы, под действием которых два тела движутся именно вот по такой траектории. ну реактивный двигатель на каждом из них

Можно. Но вот тут возникает проблема с одновременностью и с 3 законом Ньютона. Если в какой-то ИСО сила на одно тело равна минус силе на другое тело, в тот же самый момент времени, то в другой ИСО разойдутся эти моменты времени, поскольку тела находятся в разных точках пространства. И это соответствие нарушится.

-- 25.03.2014 18:27:45 --

zer0 в сообщении #840616 писал(а):

У меня расчет дает, что ускорение в $\gamma^2 раз больше, чем в классике и поскольку скорости малы, то и сила требуется в $\gamma^2 раз больше.

Давайте ваш расчёт. И не забывайте ставить доллары вокруг формулы, а не только перед формулой.

Я пока приведу правильный ответ: отношение 3-силы и 3-ускорения для движущегося тела при продольно действующей силе равно $m\gamma^3,$ а при поперечно действующей силе - $m\gamma.$ Если сила не продольная и не поперечная, то направления силы и ускорения не совпадают. Надо разложить силу на продольную и поперечную составляющие, помножить каждую на свой коэффциент, и получить продольную и поперечную составляющие ускорения.

[zer0]

Munin в сообщении #840626 писал(а):

Я пока приведу правильный ответ: отношение $3-x$ силы и $3-x$ ускорения для движущегося тела при продольно действующей силе равно $m\gamma^3,$ а при поперечно действующей силе - $m\gamma.$

Эту связь я знаю (легко получается из формулы в первом сообщении). Но это связь силы/ускорения внутри одной ИСО. А надо - между разными.
Частица движется вдоль $x$, получилось вот что:

(Оффтоп)

Собственно, из-за связи $F_y \to F_y/ \gamma$ и была создана эта тема (какую из сил покажет динамометр, как посчитать напряжения). Какой физический смысл в "неправильной силе".

[Munin]

zer0 в сообщении #840631 писал(а):

Эту связь я знаю (легко получается из формулы в первом сообщении). Но это связь силы/ускорения внутри одной ИСО. А надо - между разными.

Это делается элементарно. Все 4-векторы преобразуются между ИСО по преобразованию Лоренца. А как связаны 4-величины и 3-величины, вы уже знаете.

zer0 в сообщении #840631 писал(а):

Какой физический смысл в "неправильной силе".

Сила - это производная импульса по времени.

[zer0]

Munin в сообщении #840642 писал(а):

zer0 в сообщении #840631 писал(а):

Эту связь я знаю (легко получается из формулы в первом сообщении). Но это связь силы/ускорения внутри одной ИСО. А надо - между разными.

Это делается элементарно. Все 4-векторы преобразуются между ИСО по преобразованию Лоренца. А как связаны 4-величины и 3-величины, вы уже знаете.

Я так и сделал. И встал перед вопросом - что покажет динамометр? В классике - как импульс менятся, так и покажет. А тут два разных значения...

[Munin]

В своей системе отсчёта динамометр покажет 3-силу.

[zer0]

Я тоже думаю, что если результаты расходятся, то показания динамометра надо смотреть в сопутствующей ИСО (они в гамма раз больше), чем $dP/dt$.. В этом частном случае получается, что $3-$мерная компонента $Fy$ "отвечает" за изменение импульса, а $4-$мерная компонента $Gy$ - за натяжение. Надо это еще раз перепроверить и осмыслить "на пальцах".

Но есть еще проблема, попробую сделать расчет для большого тела $M$ (оно двигается медленно). Какие будут показания динамометра на этом конце нити? С одной стороны - в гамма раз меньше, чем у другого (иначе как быть с законом сохранения импульса в ИСО). С другой стороны нить, у которой напряжения на концах различаются в разы, выглядит необычно (нить легкая, ее масса не связана с массой тел).

Может, есть неучтенная циркуляция энергии-импульса (не нравятся мне такие нестыковки)?

[Munin]

zer0 в сообщении #840710 писал(а):

В этом частном случае получается, что 3-мерная компонента Fy "отвечает" за изменение импульса, а 4-мерная компонента Gy - за натяжение.

Все 4-мерные компоненты 4-силы отвечают за изменение 4-импульса. За промежуток мировой линии $ds,$ разумеется.

zer0 в сообщении #840710 писал(а):

Но есть еще проблема, попробую сделать расчет для большого тела M

Большие тела тоже нельзя описать механически. Приходится учитывать распространяющиеся в них волны деформации и напряжения. Механика в СТО бывает только механикой частиц. Всё остальное - теория поля.

[zer0]

Смотрю тензор напряжений (часть пространственных компонент $4-x$ тензора энергии-импульса) для в ИСО тела $m: fx$(вдоль движения) и $fy$(поперек, вдоль натянутой нити). Пересчитываю тензор в исо центра вращения и получаю:
$fy$ не изменился, но поскольку по $x$ сжатие в $\gamma$ раз, то сила $Fy$ уменьшилась в $\gamma$ раз (это совпадает с написанным выше)
$fx$ увеличился в $\gamma^2$, а поскольку по $y$ сжатия нет, то и сила возросла в $\gamma^2$ раз, а это не соответствует полученному выше результату ($Fx$ не меняется).