Кратный несобственный интеграл Римана

[askhat]

Сходится ли интеграл
$\int\limits_{\mathbb{R}^2}\frac{\sin x}{x}\frac{\sin y}{y}dx dy$ ?

[mihailm]

Сходимости кратных интегралов (и рядов) можно определять по-разному, у вас какое определение?

[askhat]

mihailm в сообщении #840690 писал(а):

Сходимости кратных интегралов (и рядов) можно определять по-разному, у вас какое определение?

Спасибо за вопрос!
В том то и дело, что нужна конструкция, напоминающая одномерный случай,
т.е. чтобы интеграл сходился только лишь условно.

Верно ли,
1) что если интеграл рассматривать как предел интегралов по
монотонно исчерпывающей
последовательности измеримых по Жордану множеств
(предел не зависит от выбора последовательности),
то интеграл не сходится(т.к. не сходится абсолютно).

2) если же интеграл рассматривать как предел интегралов по монотонной последовательности
шаров с центром в начале координат, то интеграл сходится только лишь условно?

[Otta]

А шары что, по Жордану не измеримы?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[askhat]

Otta в сообщении #840705 писал(а):

А шары что, по Жордану не измеримы?

Вы не поняли.

В первом случае рассматривается
предел по любой последовательности, причем предел
не зависит от выбора последовательности.

Во втором случае --- предел только по шарам.

Т.е. первый класс интегрируемых функций уже (ударение на у)
второго.

[mihailm]

1) Конечно, исчерпываете так, чтобы в исчерпывающих множествах было больше положительных точек.
2) По квадратам сходится (подынтегральная функция же хорошая) и ясно что не абсолютно.

[askhat]

mihailm в сообщении #840713 писал(а):

1) Конечно, исчерпываете так, чтобы в исчерпывающих множествах было больше положительных точек.
2) По квадратам сходится (подынтегральная функция же хорошая) и ясно что не абсолютно.

Насчет сходимости по квадратам: можно поточнее?
Здесь же нет признака Абеля-Дирихле.
Нужно по определению доказывать?

[Otta]

Он же по Фубини растаскивается.

[askhat]

Все, разобрался!

Всем спасибо!