2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Почему данное множество является полем?
Сообщение24.03.2014, 18:55 


18/06/09
73
Приветствую. Вопрос: Является множество всех целых чисел полем?
Ответ: нет. Каждому ненулевому скаляру $\alpha$ отвечает однозначно определённый скаляр $\alpha^{-1}$ (или $\frac{1}{\alpha}$) такой, что $\alpha\times\alpha^{-1}=1$. Но на множестве целых чисел отсутствует элемент типа $\frac{1}{Z}$, где $Z$ целое число, отличное от нуля. Например, $\frac{1}{5}$ не является целым числом.
Не понимаю почему кольцо вычетов по модулю простого числа является полем. Например, $Z_3=\{0,1,2\}$. Здесь для элемента $2$ множества отсутствует элемент $2^{-1} (\frac{1}{2})$. Он даже не входит в множество целых чисел. Потом отсутствует элемент $-2$, т.к. множество состоит только из трех элементов. Видимо не понимаю какие-то свойства полей, помогите разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему данное множество является полем?
Сообщение24.03.2014, 19:06 


09/03/14
57
Опишите $\mathbb Z_3$. Составьте таблицу умножения и сложения. И убедитесь, что это поле -- тупо по определению.

Кстати, перечитайте определение обратного элемента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему данное множество является полем?
Сообщение24.03.2014, 19:08 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
azmt
Пока Вы не ввели операции, говорить об обратных элементах, и тем более, поле или не поле, бессмысленно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему данное множество является полем?
Сообщение24.03.2014, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
У вас путаются обозначения. Например, вы считаете, что $1/2=0.5$. Почему? Вы же правильно выписали определение. Имеем $2\cdot 2=4\equiv 1$ по модулю 3. Значит, элемент 2 обратный к самому себе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему данное множество является полем?
Сообщение24.03.2014, 23:45 
Заслуженный участник


14/03/10
867
azmt в сообщении #840350 писал(а):
Не понимаю почему кольцо вычетов по модулю простого числа является полем

потому что $n^{p-1}$ сравнимо с $1$ по модулю $p$, если $p$ - простое, а $n$ не делит $p$
можете посмотреть тут детали, это кстати часть школьной программы

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему данное множество является полем?
Сообщение25.03.2014, 07:36 


18/06/09
73
Значит в кольце $Z_m$, где $m$ - простое, каждый элемент является обратным самому себе. А скаляром $-\alpha$, для каждого $\alpha$ в $Z_m$ будет элемент который в сумме с $\alpha$ даст $m$. Например, в кольце $Z_5=\{0,1,2,3,4\}$ элементом $-1$ будет $4$ , т.к. $\frac{1+4}{5}=1(0)$ т.е. $1+4=0$. Элементом $-2$ будет $3$, так как $2+3=0$. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему данное множество является полем?
Сообщение25.03.2014, 07:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
azmt в сообщении #840448 писал(а):
Значит в кольце $Z_m$, где $m$ - простое, каждый элемент является обратным самому себе.
Нет. $a^{m - 2}$ будет обратным к $a$.

azmt в сообщении #840448 писал(а):
А скаляром $-\alpha$, для каждого $\alpha$ в $Z_m$ будет элемент который в сумме с $\alpha$ даст $m$. Например, в кольце $Z_5=\{0,1,2,3,4\}$ элементом $-1$ будет $4$ , т.к. $\frac{1+4}{5}=1(0)$ т.е. $1+4=0$. Элементом $-2$ будет $3$, так как $2+3=0$. Так?
Так.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group