Почему данное множество является полем?

[azmt]

Приветствую. Вопрос: Является множество всех целых чисел полем?
Ответ: нет. Каждому ненулевому скаляру $\alpha$ отвечает однозначно определённый скаляр $\alpha^{-1}$ (или $\frac{1}{\alpha}$) такой, что $\alpha\times\alpha^{-1}=1$. Но на множестве целых чисел отсутствует элемент типа $\frac{1}{Z}$, где $Z$ целое число, отличное от нуля. Например, $\frac{1}{5}$ не является целым числом.
Не понимаю почему кольцо вычетов по модулю простого числа является полем. Например, $Z_3=\{0,1,2\}$. Здесь для элемента $2$ множества отсутствует элемент $2^{-1} (\frac{1}{2})$. Он даже не входит в множество целых чисел. Потом отсутствует элемент $-2$, т.к. множество состоит только из трех элементов. Видимо не понимаю какие-то свойства полей, помогите разобраться.

[corvus42]

Опишите $\mathbb Z_3$. Составьте таблицу умножения и сложения. И убедитесь, что это поле -- тупо по определению.

Кстати, перечитайте определение обратного элемента.

[Otta]

azmt
Пока Вы не ввели операции, говорить об обратных элементах, и тем более, поле или не поле, бессмысленно.

[provincialka]

У вас путаются обозначения. Например, вы считаете, что $1/2=0.5$. Почему? Вы же правильно выписали определение. Имеем $2\cdot 2=4\equiv 1$ по модулю 3. Значит, элемент 2 обратный к самому себе.

[patzer2097]

azmt в сообщении #840350 писал(а):

Не понимаю почему кольцо вычетов по модулю простого числа является полем

потому что $n^{p-1}$ сравнимо с $1$ по модулю $p$, если $p$ - простое, а $n$ не делит $p$
можете посмотреть тут детали, это кстати часть школьной программы

[azmt]

Значит в кольце $Z_m$, где $m$ - простое, каждый элемент является обратным самому себе. А скаляром $-\alpha$, для каждого $\alpha$ в $Z_m$ будет элемент который в сумме с $\alpha$ даст $m$. Например, в кольце $Z_5=\{0,1,2,3,4\}$ элементом $-1$ будет $4$ , т.к. $\frac{1+4}{5}=1(0)$ т.е. $1+4=0$. Элементом $-2$ будет $3$, так как $2+3=0$. Так?

[Xaositect]

azmt в сообщении #840448 писал(а):

Значит в кольце $Z_m$, где $m$ - простое, каждый элемент является обратным самому себе.

Нет. $a^{m - 2}$ будет обратным к $a$.

azmt в сообщении #840448 писал(а):

А скаляром $-\alpha$, для каждого $\alpha$ в $Z_m$ будет элемент который в сумме с $\alpha$ даст $m$. Например, в кольце $Z_5=\{0,1,2,3,4\}$ элементом $-1$ будет $4$ , т.к. $\frac{1+4}{5}=1(0)$ т.е. $1+4=0$. Элементом $-2$ будет $3$, так как $2+3=0$. Так?

Так.