Линейное отображение/линейный оператор

[Ssheh]

Здравствуйте, прошу помочь разобраться с линейным отображением/оператором.
В определениях я разбираюсь, но никак не могу представить, что это на самом деле, т.е вот определение лин. отображения:
Пусть $V$ и $W$ линейные пространства над полем $F$ тогда отображение $\varphi :V \to W$ называется линейным, если
1)$\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)$
2)$\varphi(La)=L\varphi(a)$
где $a,b$ принадлежат $V$, $L$ принадлежит $F$
Так вот, правильно ли я интерпретирую это, что отображение- это какая-то операция(преобразование), которая переводит вектор(точнее ставит в соответствие) из пространства $V$ в пространство $W$?
Так же хотелось спросить: линейный оператор- это тоже отображение только $\varphi :V \to V$ и, если я првильно понял принцип отображения, то почему линейный оператор не переводит вектор в себя же?

[Otta]

Ssheh в сообщении #840028 писал(а):

правильно ли я интерпретирую это, что отображение- это какая-то операция(преобразование), которая переводит вектор(точнее ставит в соответствие) из пространства $V$ в пространство $W$?

Правильно.
Линейный оператор и линейное отображение это синонимы. Чаще говорят линейный оператор.

Ssheh в сообщении #840028 писал(а):

$\varphi :V \to V$ и, если я првильно понял принцип отображения, то почему линейный оператор не переводит вектор в себя же?

Потому что это совсем необязательно (даже если отображение из пространства в себя). Например, поворот на фиксированный угол - тоже линейный оператор.

[Ssheh]

Otta в сообщении #840030 писал(а):

Линейный оператор и линейное отображение это синонимы. Чаще говорят линейный оператор.

Но почему они синонимы, если отображение переводит в другое пространство, а оператор в это же?

И можно тогда еще спросить про инвариантные подпространства:
Подпространство $U$, принадлежащее $V$, называется инвариантным относительно $\varphi$, если $\varphi(U)$ принадлежит $U$.
Отсюда разве не следует, что инвариантность это тот же линейный оператор, только в подпространствах?

[provincialka]

Ssheh в сообщении #840034 писал(а):

отображение переводит в другое пространство

Откуда вы взяли? Это прямо написано в определении? Оно может переводить в другое. Но может и в то же самое.

Ssheh в сообщении #840034 писал(а):

Отсюда разве не следует, что инвариантность это тот же линейный оператор, только в подпространствах?

Инвариантность - это не отображение, это свойство (в данном случае свойство подпространства). Например, "зелёность" - инвариантное свойство елочки относительно перехода в другой сезон.

[Otta]

Ssheh в сообщении #840034 писал(а):

Но почему они синонимы, если отображение переводит в другое пространство, а оператор в это же?

Если Вам так рассказывали, пусть будет так. Но вообще-то это неправда.
Посмотрите в Математической энциклопедии. Те операторы (отображения), которые переводят пространство в себя, называются эндоморфизмами.

Ssheh в сообщении #840034 писал(а):

что инвариантность это тот же линейный оператор, только в подпространствах?

Инвариантность это не оператор, это свойство подпространства относительно линейного оператора.

[Ssheh]

provincialka в сообщении #840037 писал(а):

Откуда вы взяли? Это прямо написано в определении? Оно может переводить в другое. Но может и в то же самое.

Но при переводе в другое это же уже не будет оператором?

Otta в сообщении #840040 писал(а):

Если Вам так рассказывали, пусть будет так. Но вообще-то это неправда.

Просто пытаюсь разобраться, если это так, то я так и буду в дальнейшем считать( я не помню, как нам говорили )

provincialka в сообщении #840037 писал(а):

:?: Инвариантность - это не отображение, это свойство (в данном случае свойство подпространства). Например, "зелёность" - инвариантное свойство елочки относительно перехода в другой сезон.

Т.е если вектор, после применения отображения остается в том же подпространстве в котором он был, то он инвариантный?

[Otta]

Ssheh в сообщении #840042 писал(а):

Но при переводе в другое это же уже не будет оператором?

Будет. Еще раз: это полные синонимы.

Ssheh в сообщении #840042 писал(а):

Скорее я вычитал это из интернета и пытаюсь разобраться

Читайте грамотные источники.

Ssheh в сообщении #840042 писал(а):

Т.е если вектор, после применения отображения остается в том же подпространстве в котором он был, то он инвариантный?

Нет. Зато верно иначе.
Если всякий вектор из подпространства $U$ остается в том же подпространстве после действия л.о., то подпространство инвариантно.

-- 23.03.2014, 23:37 --

Ssheh в сообщении #840042 писал(а):

я не помню, как нам говорили

А конспекты? А учебники?

[provincialka]

Вектор тоже может быть инвариантным. Если он переходит сам в себя.

[AV_77]

Otta в сообщении #840040 писал(а):

Если Вам так рассказывали, пусть будет так. Но вообще-то это неправда.
Посмотрите в Математической энциклопедии.
Те операторы (отображения), которые переводят пространство в себя, называются эндоморфизмами.

Вообще это только в векторных пространствах почему-то такой разлад в терминологии. В общем случае оператором все-таки называют эндоморфизм в себя, как пример, группы (или даже алгебры) с операторами. По крайней мере я не видел, чтобы произвольный гомоморфизм тех же групп называли оператором.

[Ssheh]

Otta в сообщении #840045 писал(а):

А конспекты? А учебники?

Вот именно, в учебниках эти определения разделяют, конкретно тем, что отображение это $\varphi :V \to W$ , а оператор : $\varphi :V \to V$(Винберг)

Разрешите еще вопрос: я правильно понимаю, что ядро л.о. - это все вектора, которые при действии л.о. переходят в 0 вектор, а образ л.о.- это все вектора, которые переходят под действием л.о.?

[Otta]

AV_77
Ну, я сужу по терминологии, принятой в функциональном анализе.

-- 24.03.2014, 00:43 --

Ssheh в сообщении #840076 писал(а):

Вот именно, что в учебниках эти определения разделяют, конкретно тем, что отображение это $\varphi :V \to W$ , а оператор : $\varphi :V \to V$(Винберг)

Ssheh
я ж говорю - на здоровье. Я вполне допускаю, что у Вас было такое определение. Мне попадалось. Но чаще попадалось другое.

Ssheh в сообщении #840076 писал(а):

что ядро л.о. - это все вектора, которые при действии л.о. переходят в 0 вектор,

Правильно.

Ssheh в сообщении #840076 писал(а):

а образ л.о.- это все вектора, которые переходят под действием л.о.?

Неправильно. Это все значения (векторные), которые принимает л.о.

[Ssheh]

Otta в сообщении #840077 писал(а):

Неправильно. Это все значения (векторные), которые принимает л.о.

Т.е. все векторы, которые получились в результате действия л.о.?

[Otta]

Да.

[Ssheh]

Большое спасибо за помощь!

[provincialka]

Ssheh в сообщении #840076 писал(а):

Вот именно, в учебниках эти определения разделяют, конкретно тем, что отображение это $\varphi :V \to W$ , а оператор : $\varphi :V \to V$(Винберг)

Но даже здесь не сказано, что $W \ne V$.