2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Линейное отображение/линейный оператор
Сообщение23.03.2014, 19:37 
Здравствуйте, прошу помочь разобраться с линейным отображением/оператором.
В определениях я разбираюсь, но никак не могу представить, что это на самом деле, т.е вот определение лин. отображения:
Пусть $V$ и $W$ линейные пространства над полем $F$ тогда отображение $\varphi :V \to W$ называется линейным, если
1)$\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)$
2)$\varphi(La)=L\varphi(a)$
где $a,b$ принадлежат $V$, $L$ принадлежит $F$
Так вот, правильно ли я интерпретирую это, что отображение- это какая-то операция(преобразование), которая переводит вектор(точнее ставит в соответствие) из пространства $V$ в пространство $W$?
Так же хотелось спросить: линейный оператор- это тоже отображение только $\varphi :V \to V$ и, если я првильно понял принцип отображения, то почему линейный оператор не переводит вектор в себя же?

 
 
 
 Re: Линейное отображение/линейный оператор
Сообщение23.03.2014, 19:46 
Ssheh в сообщении #840028 писал(а):
правильно ли я интерпретирую это, что отображение- это какая-то операция(преобразование), которая переводит вектор(точнее ставит в соответствие) из пространства $V$ в пространство $W$?

Правильно.
Линейный оператор и линейное отображение это синонимы. Чаще говорят линейный оператор.
Ssheh в сообщении #840028 писал(а):
$\varphi :V \to V$ и, если я првильно понял принцип отображения, то почему линейный оператор не переводит вектор в себя же?

Потому что это совсем необязательно (даже если отображение из пространства в себя). Например, поворот на фиксированный угол - тоже линейный оператор.

 
 
 
 Re: Линейное отображение/линейный оператор
Сообщение23.03.2014, 20:03 
Otta в сообщении #840030 писал(а):
Линейный оператор и линейное отображение это синонимы. Чаще говорят линейный оператор.

Но почему они синонимы, если отображение переводит в другое пространство, а оператор в это же?

И можно тогда еще спросить про инвариантные подпространства:
Подпространство $U$, принадлежащее $V$, называется инвариантным относительно $\varphi$, если $\varphi(U)$ принадлежит $U$.
Отсюда разве не следует, что инвариантность это тот же линейный оператор, только в подпространствах?

 
 
 
 Re: Линейное отображение/линейный оператор
Сообщение23.03.2014, 20:09 
Аватара пользователя
Ssheh в сообщении #840034 писал(а):
отображение переводит в другое пространство
Откуда вы взяли? Это прямо написано в определении? Оно может переводить в другое. Но может и в то же самое.
Ssheh в сообщении #840034 писал(а):
Отсюда разве не следует, что инвариантность это тот же линейный оператор, только в подпространствах?
:?: Инвариантность - это не отображение, это свойство (в данном случае свойство подпространства). Например, "зелёность" - инвариантное свойство елочки относительно перехода в другой сезон. :-)

 
 
 
 Re: Линейное отображение/линейный оператор
Сообщение23.03.2014, 20:20 
Ssheh в сообщении #840034 писал(а):
Но почему они синонимы, если отображение переводит в другое пространство, а оператор в это же?

Если Вам так рассказывали, пусть будет так. Но вообще-то это неправда.
Посмотрите в Математической энциклопедии. Те операторы (отображения), которые переводят пространство в себя, называются эндоморфизмами.
Ssheh в сообщении #840034 писал(а):
что инвариантность это тот же линейный оператор, только в подпространствах?

Инвариантность это не оператор, это свойство подпространства относительно линейного оператора.

 
 
 
 Re: Линейное отображение/линейный оператор
Сообщение23.03.2014, 20:31 
provincialka в сообщении #840037 писал(а):
Откуда вы взяли? Это прямо написано в определении? Оно может переводить в другое. Но может и в то же самое.

Но при переводе в другое это же уже не будет оператором?
Otta в сообщении #840040 писал(а):
Если Вам так рассказывали, пусть будет так. Но вообще-то это неправда.

Просто пытаюсь разобраться, если это так, то я так и буду в дальнейшем считать( я не помню, как нам говорили :cry: )
provincialka в сообщении #840037 писал(а):
:?: Инвариантность - это не отображение, это свойство (в данном случае свойство подпространства). Например, "зелёность" - инвариантное свойство елочки относительно перехода в другой сезон. :-)

Т.е если вектор, после применения отображения остается в том же подпространстве в котором он был, то он инвариантный?

 
 
 
 Re: Линейное отображение/линейный оператор
Сообщение23.03.2014, 20:36 
Ssheh в сообщении #840042 писал(а):
Но при переводе в другое это же уже не будет оператором?

Будет. Еще раз: это полные синонимы.
Ssheh в сообщении #840042 писал(а):
Скорее я вычитал это из интернета и пытаюсь разобраться

Читайте грамотные источники.
Ssheh в сообщении #840042 писал(а):
Т.е если вектор, после применения отображения остается в том же подпространстве в котором он был, то он инвариантный?

Нет. Зато верно иначе.
Если всякий вектор из подпространства $U$ остается в том же подпространстве после действия л.о., то подпространство инвариантно.

-- 23.03.2014, 23:37 --

Ssheh в сообщении #840042 писал(а):
я не помню, как нам говорили

А конспекты? А учебники?

 
 
 
 Re: Линейное отображение/линейный оператор
Сообщение23.03.2014, 21:01 
Аватара пользователя
Вектор тоже может быть инвариантным. Если он переходит сам в себя.

 
 
 
 Re: Линейное отображение/линейный оператор
Сообщение23.03.2014, 21:34 
Otta в сообщении #840040 писал(а):
Если Вам так рассказывали, пусть будет так. Но вообще-то это неправда.
Посмотрите в Математической энциклопедии.
Те операторы (отображения), которые переводят пространство в себя, называются эндоморфизмами.

Вообще это только в векторных пространствах почему-то такой разлад в терминологии. В общем случае оператором все-таки называют эндоморфизм в себя, как пример, группы (или даже алгебры) с операторами. По крайней мере я не видел, чтобы произвольный гомоморфизм тех же групп называли оператором.

 
 
 
 Re: Линейное отображение/линейный оператор
Сообщение23.03.2014, 21:39 
Otta в сообщении #840045 писал(а):
А конспекты? А учебники?

Вот именно, в учебниках эти определения разделяют, конкретно тем, что отображение это $\varphi :V \to W$ , а оператор : $\varphi :V \to V$(Винберг)

Разрешите еще вопрос: я правильно понимаю, что ядро л.о. - это все вектора, которые при действии л.о. переходят в 0 вектор, а образ л.о.- это все вектора, которые переходят под действием л.о.?

 
 
 
 Re: Линейное отображение/линейный оператор
Сообщение23.03.2014, 21:41 
AV_77
Ну, я сужу по терминологии, принятой в функциональном анализе.

-- 24.03.2014, 00:43 --

Ssheh в сообщении #840076 писал(а):
Вот именно, что в учебниках эти определения разделяют, конкретно тем, что отображение это $\varphi :V \to W$ , а оператор : $\varphi :V \to V$(Винберг)

Ssheh
я ж говорю - на здоровье. Я вполне допускаю, что у Вас было такое определение. Мне попадалось. Но чаще попадалось другое.
Ssheh в сообщении #840076 писал(а):
что ядро л.о. - это все вектора, которые при действии л.о. переходят в 0 вектор,

Правильно.
Ssheh в сообщении #840076 писал(а):
а образ л.о.- это все вектора, которые переходят под действием л.о.?

Неправильно. Это все значения (векторные), которые принимает л.о.

 
 
 
 Re: Линейное отображение/линейный оператор
Сообщение23.03.2014, 21:48 
Otta в сообщении #840077 писал(а):
Неправильно. Это все значения (векторные), которые принимает л.о.

Т.е. все векторы, которые получились в результате действия л.о.?

 
 
 
 Re: Линейное отображение/линейный оператор
Сообщение23.03.2014, 21:48 
Да.

 
 
 
 Re: Линейное отображение/линейный оператор
Сообщение23.03.2014, 21:50 
Большое спасибо за помощь!

 
 
 
 Re: Линейное отображение/линейный оператор
Сообщение23.03.2014, 21:55 
Аватара пользователя
Ssheh в сообщении #840076 писал(а):
Вот именно, в учебниках эти определения разделяют, конкретно тем, что отображение это $\varphi :V \to W$ , а оператор : $\varphi :V \to V$(Винберг)
Но даже здесь не сказано, что $W \ne V$.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group