Группа нечетного порядка

[masterflomaster]

Помогите пожалуйста решить задачу!

Доказать, что в конечной группе нечетного порядка любой элемент является квадратом другого, однозначно определенного, элемента.

Решение.
Порядок группы - количество элементов $g$ в группе $G$. Порядок элемента - $n$: $g^{n}=e, n -$наименьший натуральный в группе. Это нам должно пригодится, но вот куда двигаться я не знаю(

[Lia]

Тема изменена на более информативную.
Просьба избегать использования совпадающих названий вместе созданных тем.

[corvus42]

Чему равен любой элемент в степени порядка группы?

[masterflomaster]

Не уверен, но напишу: $g^{|G|} = |G|$;
в нашем случае: $g^{|G|} = |G| = 2n + 1$

[corvus42]

Не надо гадать. Это следствие теоремы Лагранжа.

[masterflomaster]

Смотрел здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 0%BF%D0%BF)

из 3-го пункта: $g^{p} \Rightarrow |G| \vdots p;$
из 4-го пункта: $g^{p},$ где $|G|=p.$

И что нам это даёт? Где мы это сможем применить?

[corvus42]

$g^p$ -- это утверждение?

Вы постарайтесь не переписать википедию сюда, а ответить на мой первый вопрос. Порядок элемента делит порядок группы, так чему равно $g^{|G|}$?

[masterflomaster]

Если $|G| = m < +\infty$, то $\forall g \in G$ выполняется $g^{m} = e$, где e - единичные элемент т.е $eg = ge =g$.

[corvus42]

Да. А теперь вспоминаем, что порядок группы нечетный.

[masterflomaster]

$|G|=2n+1, g^{2n+1}$.

Я не очень это всё представляю. Давайте на примере.

Пусть $|G| = 5$. Тогда наша группа выглядит так: $<g> = \{g^{-2},g^{-1},g^{0},g^{1},g^{2}\}$.
И где здесь "любой элемент является квадратом другого"?

[AV_77]

masterflomaster в сообщении #839709 писал(а):

Пусть $|G| = 5$. Тогда наша группа выглядит так: $<g> = \{g^{-2},g^{-1},g^{0},g^{1},g^{2}\}$.

Так не очень удобно записывать, но ладно. Из каких элементов состоит подгруппа $\langle g^2 \rangle$?

[masterflomaster]

$\langle g^{2} \rangle$ состоит из элементов $e, g^{2}$?
А если бы $|G|=9$, то $\langle g^{9} \rangle$ состояла бы из элементов $e, g^{3}, g^{9}$?

[corvus42]

masterflomaster в сообщении #839709 писал(а):

$|G|=2n+1, g^{2n+1}$.

Ну вот, вы знаете, что $g^{2n+1}=e$. Поиграйтесь с этим равенством, сделайте самостоятельно последний шаг. Тут подсказывать уже неприлично.

(Оффтоп)

masterflomaster в сообщении #839732 писал(а):

А если бы $|G|=9$, то $\langle g^{9} \rangle$ состояла бы из элементов $e, g^{3}, g^{9}$?

Нет, вы же сами напсиали

masterflomaster в сообщении #839695 писал(а):

Если $|G| = m < +\infty$, то $\forall g \in G$ выполняется $g^{m} = e$, где e - единичные элемент

[Otta]

masterflomaster в сообщении #839732 писал(а):

$\langle g^{2} \rangle$ состоит из элементов $e, g^{2}$?

А обратный к $g^2$ - он сам, что ли, или $e$?

[masterflomaster]

Otta, $\langle g^{2} \rangle$ состоит из $e, g^{2}, g^{-2}$. Верно?

corvus42, у меня небольшие проблемы с пониманием. Давайте разберем на нашем примере:
$|G| = 5; g^{2n+1}=e;$
$g^{5}=e;$
$g^{4}=eg^{-1}=g^{-1};$
$g^{3}=eg^{-2}=g^{-2};$
$g^{2}=eg^{-3}=g^{-3}=g^{2};$
$g^{1}=eg^{-4}=g^{-4}=g^{1};$
$g^{0}=eg^{-5}=g^{-5}=g^{0}=e;$

т.е всегда получаем элементы из множества ${g^{-2}, g^{-1}, g^{0}, g^{1}, g^{2}}$.

Теперь по-поводу квадратов:
${g^{-2}}^2 = g^{-4} = g^{1}$
${g^{-1}}^2 = g^{-2}$
${g^{0}}^2 = g^{0} = e$
${g^{1}}^2 = g^{2}$
${g^{2}}^2 = g^{4} = g^{-1}$

Если то, что выше я написал правильно, то у меня еще два вопроса:
1. Я увидел, что любой элемент, кроме единичного, является квадратом другого, однозначно определенного элемента. Что делать с единичным?
2. Как всё привести к общему виду?