2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Min и max
Сообщение22.03.2014, 11:37 
Аватара пользователя


13/12/08
30
Нужно найти min и max функции $$y(x)={{81}^{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}-{{36}^{\sin x\cos x}}$$
Заменой $t=\sin (2x)$ свожу к $y(t)={{3}^{4-2{{t}^{2}}}}-{{6}^{t}},$ но что дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Min и max
Сообщение22.03.2014, 12:01 
Заслуженный участник


16/02/13
4195
Владивосток
По-моему, таки не $-2t^2$. Независимо от того, надо искать максимум $y(t)$ на отрезке $[-1,1]$, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Min и max
Сообщение22.03.2014, 12:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Сумма двух монотонно убывающих функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Min и max
Сообщение22.03.2014, 13:10 
Аватара пользователя


13/12/08
30
iifat в сообщении #839596 писал(а):
По-моему, таки не $-2t^2$.

Да нет, кажется, все верно.

iifat в сообщении #839596 писал(а):
Независимо от того, надо искать максимум $y(t)$ на отрезке $[-1,1]$, нет?

Да, но что из этого?

SpBTimes в сообщении #839601 писал(а):
Сумма двух монотонно убывающих функций.

Уверены? А вот график говорит об обратном.

 Профиль  
                  
 
 Re: Min и max
Сообщение22.03.2014, 13:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
А, я не приметил $t^2$. Тогда монотонность разве что гарантируется при $t > 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Min и max
Сообщение22.03.2014, 17:10 


25/08/11

1074
Интересная задача. Ясно, что минимум на правом конце вспомогательной функции $g(t)$ при $t=1$. При $t>0$, как уже отмечено, функция убывает, а при каждом положительном $t$ верно $g(-t)\ge g(t)$, поэтому минимума при отрицательных аргументах быть не может. С максимумом непонятно, ясно, что он при отрицательном аргументе, на графике видно что чуть левее нуля. Как найти-не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Min и max
Сообщение23.03.2014, 11:12 
Аватара пользователя


13/12/08
30
Какие еще есть идеи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Min и max
Сообщение23.03.2014, 11:38 


25/08/11

1074
Решение известно или нет?
Непонятно, как даже доказать что экстремум только один посредине. Попробовать уравнение производная=0 решить методом Ньютона, может быть? Если повезёт и можно доказать что приближения двусторонние обволакивающие - то будут какие-то оценки для этого экстремума. Понятно, что всё это общие слова и очевидности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Min и max
Сообщение23.03.2014, 13:55 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
sergei1961 в сообщении #839905 писал(а):
Решение известно или нет?
Непонятно, как даже доказать что экстремум только один посредине. Попробовать уравнение производная=0 решить методом Ньютона, может быть?

По-видимому, задача состоит в аналитическом получении ответа. Если бы можно было воспользоваться методом Ньютона, то проще было бы сразу искать экстремумы численно, благо это совершенно тривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Min и max
Сообщение23.03.2014, 15:59 


25/08/11

1074
Если в первоначальной формулировке взять плюс вместо минуса-то получается аналогичная задача, проблемы те же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Min и max
Сообщение24.03.2014, 14:14 


01/12/11

1047
Димаsick в сообщении #839586 писал(а):
Нужно найти min и max функции $$y(x)={{81}^{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}-{{36}^{\sin x\cos x}}$$

Заменим 81 на 36 $$y(x)={{36}^{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}-{{36}^{\sin x\cos x}}$$ Очевидно, это только изменит значения $\min$ и $\max$ при тех же значениях $x$.
Применяя предложенную подстановку, получим $x=\frac{\pi}{4}$ и $\min=3$.

Найти так максимальное значение пока не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Min и max
Сообщение24.03.2014, 15:14 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Skeptic в сообщении #840281 писал(а):
Заменим 81 на 36 $$y(x)={{36}^{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}-{{36}^{\sin x\cos x}}$$ Очевидно, это только изменит значения $\min$ и $\max$ при тех же значениях $x$.

Не очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Min и max
Сообщение24.03.2014, 23:35 


16/02/10
258
Функцию можно записать так $y(x)=9\cdot 3^{\cos 4x}-6^{\sin 2x}$. Тогда минимум равен $-3$ при $x= \pi/4+\pi n$, поскольку здесь одновременно $\cos 4x$ достигает своего минимума, а $\sin 2x$ --- максимума.
Максимум этой функции можно найти только численно. Он приблизительно равен $26.0132$

 Профиль  
                  
 
 Re: Min и max
Сообщение25.03.2014, 08:24 


01/12/11

1047
Максимум функции равен 80,0024. Минимум положителен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Min и max
Сообщение25.03.2014, 08:44 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
VPro в сообщении #840418 писал(а):
Функцию можно записать так $y(x)=9\cdot 3^{\cos 4x}-6^{\sin 2x}$. Тогда минимум равен $-3$ при $x= \pi/4+\pi n$, поскольку здесь одновременно $\cos 4x$ достигает своего минимума, а $\sin 2x$ --- максимума

Все верно, за исключением небольшой ошибки
$y(x)=27\cdot 3^{\cos 4x}-6^{\sin 2x}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group