Min и max

[Димаsick]

Нужно найти min и max функции

$$y(x)={{81}^{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}-{{36}^{\sin x\cos x}}$$

Заменой $t=\sin (2x)$ свожу к $y(t)={{3}^{4-2{{t}^{2}}}}-{{6}^{t}},$ но что дальше?

[iifat]

По-моему, таки не $-2t^2$. Независимо от того, надо искать максимум $y(t)$ на отрезке $[-1,1]$, нет?

[SpBTimes]

Сумма двух монотонно убывающих функций.

[Димаsick]

iifat в сообщении #839596 писал(а):

По-моему, таки не $-2t^2$.

Да нет, кажется, все верно.

iifat в сообщении #839596 писал(а):

Независимо от того, надо искать максимум $y(t)$ на отрезке $[-1,1]$, нет?

Да, но что из этого?

SpBTimes в сообщении #839601 писал(а):

Сумма двух монотонно убывающих функций.

Уверены? А вот график говорит об обратном.

[SpBTimes]

А, я не приметил $t^2$. Тогда монотонность разве что гарантируется при $t > 0$

[sergei1961]

Интересная задача. Ясно, что минимум на правом конце вспомогательной функции $g(t)$ при $t=1$. При $t>0$, как уже отмечено, функция убывает, а при каждом положительном $t$ верно $g(-t)\ge g(t)$, поэтому минимума при отрицательных аргументах быть не может. С максимумом непонятно, ясно, что он при отрицательном аргументе, на графике видно что чуть левее нуля. Как найти-не вижу.

[Димаsick]

Какие еще есть идеи?

[sergei1961]

Решение известно или нет?
Непонятно, как даже доказать что экстремум только один посредине. Попробовать уравнение производная=0 решить методом Ньютона, может быть? Если повезёт и можно доказать что приближения двусторонние обволакивающие - то будут какие-то оценки для этого экстремума. Понятно, что всё это общие слова и очевидности.

[Pphantom]

sergei1961 в сообщении #839905 писал(а):

Решение известно или нет?
Непонятно, как даже доказать что экстремум только один посредине. Попробовать уравнение производная=0 решить методом Ньютона, может быть?

По-видимому, задача состоит в аналитическом получении ответа. Если бы можно было воспользоваться методом Ньютона, то проще было бы сразу искать экстремумы численно, благо это совершенно тривиально.

[sergei1961]

Если в первоначальной формулировке взять плюс вместо минуса-то получается аналогичная задача, проблемы те же.

[Skeptic]

Димаsick в сообщении #839586 писал(а):

Нужно найти min и max функции

$$y(x)={{81}^{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}-{{36}^{\sin x\cos x}}$$

Заменим 81 на 36

$$y(x)={{36}^{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}-{{36}^{\sin x\cos x}}$$

Очевидно, это только изменит значения $\min$ и $\max$ при тех же значениях $x$.
Применяя предложенную подстановку, получим $x=\frac{\pi}{4}$ и $\min=3$.

Найти так максимальное значение пока не получается.

[Cash]

Skeptic в сообщении #840281 писал(а):

Заменим 81 на 36

$$y(x)={{36}^{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}-{{36}^{\sin x\cos x}}$$

Очевидно, это только изменит значения $\min$ и $\max$ при тех же значениях $x$.

Не очевидно.

[VPro]

Функцию можно записать так $y(x)=9\cdot 3^{\cos 4x}-6^{\sin 2x}$. Тогда минимум равен $-3$ при $x= \pi/4+\pi n$, поскольку здесь одновременно $\cos 4x$ достигает своего минимума, а $\sin 2x$ --- максимума.
Максимум этой функции можно найти только численно. Он приблизительно равен $26.0132$

[Skeptic]

Максимум функции равен 80,0024. Минимум положителен.

[Cash]

VPro в сообщении #840418 писал(а):

Функцию можно записать так $y(x)=9\cdot 3^{\cos 4x}-6^{\sin 2x}$. Тогда минимум равен $-3$ при $x= \pi/4+\pi n$, поскольку здесь одновременно $\cos 4x$ достигает своего минимума, а $\sin 2x$ --- максимума

Все верно, за исключением небольшой ошибки
$y(x)=27\cdot 3^{\cos 4x}-6^{\sin 2x}$