Редуцированная(Reduced) матрица плотности

[swarog46]

Различия между чистыми и запутанными(смешанными) состояниями заключаются в различной структуре их матриц плотности.
Для матрицы плотности смешанного состояния \rho, след матрицы $\rho^{2}$ должен быть меньше единицы.
Соответственно, для матрицы плотности чистого состояния \operatorname{Tr}(\rho^{2}) = 1.
При попытке проверить одно из двухкубитовых состояний Белла \psi = \frac{1}{\sqrt 2} (|00\rangle + |11\rangle) я получил такую матрицу:

$$\rho = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$

соответственно:

$$\rho^{2} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

\operatorname{Tr}(\rho^{2})= 1 , что, по идее говорит о том что это чистое состояние, но это не так по определению.

Часто вместе с состояниями Белла используется понятие reduced density matrix, вероятно это то что нужно, но я, никак не соображу что под этим имеется в виду, не могли бы вы пояснить.

[espe]

swarog46 в сообщении #839198 писал(а):

но это не так по определению

По какому определению? Если состояние системы можно задать с помощью вектора состояния, то это чистое состояние.

[swarog46]

Состояние белла это как раз таки случай двух перепутанных кубитов. Кубиты по отдельности -- чистые состояния, двухкубитовое состояние белла -- перепутанное состояние.
Однако судя по матрице плотности это чистое состояние.

[Munin]

Слово "чистое" вас запутало. Есть два смысла, в которых оно иногда употребляется:
1. "Чистое (1)" vs "суперпозиция";
2. "Чистое (2)" vs "смесь".
На самом деле, $\text{``чистое (2)''}=\text{``чистое (1)''}\cup\text{``суперпозиция''}.$ То есть, градация такова:
- "чистое (1)";
- суперпозиция;
- смесь.
При рассмотрении формализма векторов состояния возможны только первые две ступеньки этой градации, при рассмотрении формализма матриц плотности - все три. Лучше называть "чистое (1)" "базисным", а "чистое (2)" - "чистым", это позволяет избежать путаницы. Можно уточнить "чистый вектор состояния".

В пространстве векторов состояния, "чистое (1)" - это один из базисных векторов, а суперпозиция - произвольная линейная комбинация таких базисных векторов.

В пространстве матриц плотности "чистые векторы состояния" ("чистые (2)") образуют подпространство, но не линейное. А произвольные их линейные комбинации - дают смешанные состояния.

[swarog46]

Это вроде бы понятно, спасибо.
Но все-таки вопрос с Беллом и матрицей плотности для меня остается открытым.
Действительно ли все линейные комбинации можно считать смешанными?
И, правильно ли я понимаю, что смешанное и запутанное состояния это одно и тоже?

[espe]

swarog46 в сообщении #839232 писал(а):

двухкубитовое состояние белла -- перепутанное состояние

Перепутанные состояния и смешанные состояния -- это не одно и тоже, это разные понятия.
Например, в Википедии написано

Цитата:

It is worthwhile to note that the above example is one of four Bell states, which are (maximally) entangled pure states

[fizeg]

swarog46
Вам понятно? По-моему вы ничего не поняли.

Любая матрица плотности, представимая в виде $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ соответствует чистому состоянию. Запутанное состояние тоже является чистым состоянием.

Вот если вы перейдете к одному кубиту, спутанному с другим, как к подсистеме, посчитав как раз его редуцированную матрицу плотности, вы получите для него смешанную матрицу плотности

В то время как для состояния, в котором этот кубит не спутан с другим $\vert\psi\rangle=\vert\psi_1\rangle\otimes\vert\psi_2\rangle$ переход к подсистеме все равно даст вам чистое состояние

Т.е. все наоборот. Спутанное состояние чистое, но его подсистемы при этом оказываются в смешанных состояниях. Это в общем-то вся суть квантовой спутанности

[swarog46]

я понимаю так, есть два кубита:
$|\psi_1\rangle = \alpha_1 |0_1\rangle + \alpha_1 |1_1\rangle$
$|\psi_2\rangle = \alpha_2 |0_2\rangle + \alpha_2 |1_2\rangle$

представляют суперпозицию двух базисных состояний $|0_1\rangle, |0_2\rangle, |1_1\rangle, |1_2\rangle$

новое векторное пространство $|\psi_1\rangle \bigotimes |\psi_2\rangle $ с новыми базисными векторами $|0_1 0_2\rangle, |0_1 1_2\rangle, |1_1 0_2\rangle, |1_1 1_2\rangle$ тоже будет представлять собой чистое состояние в новом базисе, но если коэффициенты перед новыми базисными состояниями будут нефакторизуемы, то в старом базисе оно будет запутанным.

То есть если нельзя будет прийти от $|\psi\rangle = \gamma_1 |0_1 0_2\rangle + \gamma_2 |0_1 1_2\rangle + \gamma_3|1_1 0_2\rangle + \gamma_4|1_1 1_2\rangle$ к $|\psi_1\rangle \bigotimes |\psi_2\rangle$, то это запутанное состояние.

[fizeg]

Вам нужно еще раз понять всю идею за формализмом матрицы плотности. Он был создан для квантовой статистической физики.

В нестатистической квантовой механике замкнутых систем мы рассматриваем чистые состояния, т.е. описываемые квантовым вектором состояния $\vert\psi\rangle$. В зависимости от базиса он может представляться как суперпозиция других состояний... а если выбрать базис по другому, то те другие состояния будут представляться как суперпозиция, включающая $\vert\psi\rangle$. Если вы проводите какое-то измерение, оно вам выделяет некоторый базис, коэффициенты разложения по которому дают вам амплитуды вероятностей. Делаете другое измерение - выделяется другой базис. Так что для одних измерений состояния вроде $\vert+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\vert 0\rangle+\vert 1\rangle\Big),\quad \vert-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\vert 0\rangle+\vert 1\rangle\Big)$ дает один из двух результатов (0 или 1) с 50% вероятностью. Для других измерений оно дает конкретный результат $+$ или $-$ со 100% вероятностью.

В статистической квантовой механике вы описываете такую ситуацию. У вас с какой-то классической вероятностью (т.е. без всяких измерений) получается какое-то чистое состояние. Такую ситуацию мы вынуждены описывать с помощью матрицы плотности и это смешанное состояние - распределение по вероятностям получить какое-то чистое состояние

Например с классической вероятностью 50% выскакивает состояние $\vert0\rangle$, а с вероятностью 50% выскакивает состояние $\vert 1\rangle$. Если вы измеряете 0 и 1 у вас тоже получается результат 0 или 1 с 50% вероятностью. Но! Матрица плотности остается такой же при переходе в базис $\vert +\rangle,\vert - \rangle$. Т.е. если вы измеряете $+$ и $-$ у вас получается не какой-то результат со 100% вероятностью, а снова $+$ или $-$ с 50% вероятностью.

-- 21.03.2014, 16:19 --

swarog46 в сообщении #839293 писал(а):

То есть если нельзя будет прийти от $|\psi\rangle = \gamma_1 |0_1 0_2\rangle + \gamma_2 |0_1 1_2\rangle + \gamma_3|1_1 0_2\rangle + \gamma_4|1_1 1_2\rangle$ к $|\psi_1\rangle \bigotimes |\psi_2\rangle$, то это запутанное состояние.

Именно оно

Это значит, что каждый кубит по отдельности при этом считать замкнутой квантовой системой нельзя. Он не находится в чистом состоянии, хотя вся система в чистом

-- 21.03.2014, 16:30 --

Теперь редуцированная матрица плотности.

У вас для системы состоящей из двух подсистем матрица плотности запишется так
$\rho=\sum_{ij}\sum_{mn}\rho_{ij,mn}\vert e^{(1)}_i\rangle\vert e^{(2)}_m\rangle\langle e^{(2)}_n\vert \langle e^{(1)}_j\vert$

где $\vert e^{(1)}_i$ базис для первой подсистемы, а $\vert e^{(2)}_m$ для второй

Что вы хотите - забить нафиг например на вторую подсистему и изучать только первую. Тогда вы и строите редуцированную матрицу плотности, т.е. матрицу плотности только для вашей подсистемы

Для этого вы берете так называемый частичный след, т.е. след только по тем компонентам, на которые вы хотите забить (в нашем случае по второй подсистеме)
$\rho^{(1)}=\sum_{ij}\Big(\sum_{mn} \rho_{ij,mn}\langle e^{(2)}_m\vert e^{(2)}_n\rangle\Big) \vert e^{(1)}_i\rangle\langle e^{(1)}_j\vert$

[swarog46]

fizeg
Вот теперь я запутался совершенно точно.
Вы хотите сказать что матрица плотности описывающая двухкубитовое состояние такой же размерности что и матрица плотности однокубитового?
Тут

Цитата:

кубит по отдельности при этом считать замкнутой квантовой системой нельзя

вы имеете в виду что каждый кубит может быть выражен как в виде одних базисных состояний, так и в виде других?

[Munin]

swarog46 в сообщении #839285 писал(а):

Но все-таки вопрос с Беллом и матрицей плотности для меня остается открытым.

Какой именно вопрос?

swarog46 в сообщении #839285 писал(а):

Действительно ли все линейные комбинации можно считать смешанными?

Линейные комбинации кого, линейные комбинации в смысле какого пространства?

Если вы поняли мои объяснения, то почему продолжаете писать столь неясно и без оговорок?

swarog46 в сообщении #839285 писал(а):

И, правильно ли я понимаю, что смешанное и запутанное состояния это одно и тоже?

Нет, неправильно.

[fizeg]

Для вашей двухкубитовой матрицы плотности, если у вас базис упорядочен таким образом $\vert 00\rangle,\vert 01\rangle,\vert 10\rangle,\vert 11\rangle$, чтобы отбросить второй кубит, надо просто разбить вашу матрицу на блоки 2x2 и после этого взять в каждом блоке трейс. Тогда у вас получится
$\rho^{1}=\begin{pmatrix}1/2&0\\0&1/2\end{pmatrix}$
т.е. смешанная матрица для кубита, находящегося с вероятностью $1/2$ в состоянии $\vert 0\rangle$, а с вероятностью $1/2$ в состоянии $\vert 1\rangle$

-- 21.03.2014, 16:37 --

swarog46 в сообщении #839305 писал(а):

Вы хотите сказать что матрица плотности описывающая двухкубитовое состояние такой же размерности что и матрица плотности однокубитового?

Нет. Для двух кубитов 4x4, для одного 2x2

-- 21.03.2014, 16:42 --

swarog46 в сообщении #839305 писал(а):

вы имеете в виду что каждый кубит может быть выражен как в виде одних базисных состояний, так и в виде других?

Я имею в виду то, что написал: берем систему в чистом состоянии, ее подсистема оказывается в смешанном (не чистом, не просто в суперпозиции!). В этом и состоит вся квантовая спутанность

[swarog46]

fizeg
Отлично, вроде бы я понял как это должно работать!
Не могли бы вы пояснить в чем отличие спутанного состояния от смешанного состояния?

[Munin]

fizeg в сообщении #839295 писал(а):

Вам нужно еще раз понять всю идею за формализмом матрицы плотности. Он был создан для квантовой статистической физики.

Не совсем. Он встречается в разных местах, и мне известны три его применения. post575373.html#p575373 (надеюсь, сам текст написан без грубых ошибок).

[fizeg]

Ну я уж не знаю как еще объяснить то, что я повторяю, так чтобы вы поняли.

Смешанное состояние означает, что у вас система с какой-то классической вероятностью находится в одном из чистых состояний. Состояния, представляемые в виде суперпозиции, описываются вектором состояния, следовательно они являются чистыми, а не смешанными. Один единственный кубит и тот может находиться в смешанном состоянии.

Спутанное же состояние системы из нескольких подсистем это состояние, которое нельзя представить в виде тензорного произведения состояний подсистем

Оно может быть чистым, т.е. описываться вектором состояния $|\psi\rangle$ и тогда

swarog46 в сообщении #839293 писал(а):

То есть если нельзя будет прийти от $|\psi\rangle = \gamma_1 |0_1 0_2\rangle + \gamma_2 |0_1 1_2\rangle + \gamma_3|1_1 0_2\rangle + \gamma_4|1_1 1_2\rangle$ к $|\psi_1\rangle \bigotimes |\psi_2\rangle$, то это запутанное состояние.

Эта нефакторизумость означает в частности, что если мы перейдем к подсистеме системы в таком чистом состоянии, то мы не получим чистого состояния. Т.е. в целом система в чистом состоянии, но ее части в смешанном

-- 21.03.2014, 17:00 --

Munin
Я согласен и в общем-то подсистемы спутанных состояний дают такой пример. Я бы сказал так, подсистема спутанной системы с точки зрения измерений не отличима от случайно приготовленного состояния