Достаточно разобрать случай ограниченного подграфика, поскольку общий случай легко выводится из него. В этом случае применяем теорему Фубини для функции на подграфике, тождественно равной 1. Тогда для каждого

сечение
![$\{y\in\mathbb R\mid(x,y)\in G_f\}=[0,f(x)]$ $\{y\in\mathbb R\mid(x,y)\in G_f\}=[0,f(x)]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/f/0ef0bbc9f2a18247da719eca7322223882.png)
имеет меру

. Теорема Фубини утверждает, что

суммируема, значит, и измерима. Про Колмогорова–Фомина не знаю, но, например, в книжке Ульянова и Дьяченко "Мера и интеграл" этот случай теоремы Фубини доказывается отдельно, а затем общий случай выводится из него. Конечно, я воспользовался тем, что

-мерный Лебег является прямым произведением

- и

-мерного. Не знаю, насколько это просто обосновать.