Измеримый подграфик

[Padawan]

Пусть на измеримом по Лебегу множестве $A\subset \mathbb R^n$ задана неотрицательная функция $f\colon A\to\mathbb R$. Доказать, что если подграфик $G_f=\{(x,y)\in\mathbb R^{n+1}|x\in A, 0\leqslant y\leqslant f(x)\}$ измерим в $\mathbb R^{n+1}$, то функция $f$ измерима.

[RIP]

Это следует из теоремы Фубини.

[Padawan]

А как?
В любом случае, хотелось бы прямого доказательства, без ссылок на теорему Фубини или что-то подобное. Вопрос как раз возник из того, что в Колмогорове-Фомине при доказательстве теоремы Фубини неявно используется тот факт, что подграфик измерим тогда и только тогда, когда функция измерима. В одну сторону доказывается несложно (из измеримости функции следует измеримость подграфика), а в обратную не получается.

[RIP]

Достаточно разобрать случай ограниченного подграфика, поскольку общий случай легко выводится из него. В этом случае применяем теорему Фубини для функции на подграфике, тождественно равной 1. Тогда для каждого $x\in A$ сечение $\{y\in\mathbb R\mid(x,y)\in G_f\}=[0,f(x)]$ имеет меру $f(x)$. Теорема Фубини утверждает, что $f(x)$ суммируема, значит, и измерима. Про Колмогорова–Фомина не знаю, но, например, в книжке Ульянова и Дьяченко "Мера и интеграл" этот случай теоремы Фубини доказывается отдельно, а затем общий случай выводится из него. Конечно, я воспользовался тем, что $(n+1)$-мерный Лебег является прямым произведением $n$- и $1$-мерного. Не знаю, насколько это просто обосновать.

[Padawan]

Все понял, спасибо! В Колмогорове-Фомине тоже все нормально.