Бесконечное произведение

[Terraniux]

Otta в сообщении #837979 писал(а):

Terraniux в сообщении #837946 писал(а):

Сумма $\to 0$, а произведение $\to 1$, разве нет?

Да почему же?
У меня вот произведение совершенно спокойно стремится к нулю, причем экспоненциально убывая.
Как Вы обосновывали желаемое?

Так как:
$A_n = \lim\limits _{N\to \infty} e^{ N - \sum\limits_{l=1}^{N}{n^{1/l^2}}} = \lim\limits _{N\to \infty} e^{\sum\limits_{l=1}^{N}{1-n^{1/l^2}}}$. Ряд в показателе сходится, его сумма стремится к нулю, а сам $A_n \to 1$.
В чем ошибка? Сам не вижу.

[Otta]

Terraniux в сообщении #838378 писал(а):

Ряд в показателе сходится, его сумма стремится к нулю,

Не стремится. Почему стремится? Сумма ведет себя как $-n$ асимптотически, по моим прикидкам.

Очень грубая оценка $1-x^{(1/l^2)}\le -\frac{1}{l^2}\ln x$ дает $\sum_{l}(1-x^{(1/l^2)})\le -A\ln x$, где $A=\sum_l \frac{1}{l^2}$, и уже отсюда видно, что при $x\to +\infty$ никакой бесконечно малой в сумме не получается.

[Terraniux]

А если так?
$A_n = \lim\limits_{N \to \infty}\prod\limits_{l=1}^{N}{\dfrac{e^{f(n,l)}}{e^{g(n,l)}}}$, где функции двух переменных $f$ и $g$ выбраны таким образом, что $\sum\limits_{l}^{\infty}{f(n,l)} \to a-, \sum\limits_{l}^{\infty}{g(n,l)} \to a+$, где $a$- некоторая положительная константа. Тогда по отдельности каждая из функций $a^l_n = \dfrac{e^{f(n,l)}}{e^{g(n,l)}}$ есть бмп при базе $n\to \infty$, но в произведении - константа.

[INGELRII]

Мне прежде всего пришла в голову мысль взять последовательность $\frac{n}{x^c}$. Произведение этих функций не является бесконечно малой функцией, так как вообще не является функцией - оно не определено ни в одной точке, расходится. Не знаю,подойдет или нет.

[Terraniux]

INGELRII в сообщении #838933 писал(а):

Мне прежде всего пришла в голову мысль взять последовательность $\frac{n}{x^c}$. Произведение этих функций не является бесконечно малой функцией, так как вообще не является функцией - оно не определено ни в одной точке, расходится. Не знаю,подойдет или нет.

См. стартовое сообщегние.

[Otta]

Terraniux
а я ж Вам полторы идеи подкинула. Не понравились? А пример svv тоже не понравился?

Terraniux в сообщении #838812 писал(а):

Тогда по отдельности каждая из функций $a^l_n = \dfrac{e^{f(n,l)}}{e^{g(n,l)}}$ есть бмп при базе $n\to \infty$,

Почему?