Система рекуррентных уравнений

[Kitozavr]

Помогите, пожалуйста, решить следующую систему

$$ \begin{cases} Z_N = A Z_{N-1} + B \zeta _{N-1} \\ \zeta _N = C \zeta_{N-1} + D Z_{N-1} \end{cases} $$

Начальные условия - $Z_1 = E, \zeta_1 = F$.
$A, B, C, D, E, F$ - константы.
Я раньше никогда рекуррентные уравнения не решал, так что идей нет.
Решение с помощью какой-либо программы, желательно не численно, тоже подойдёт.

[Otta]

Попробуйте привести матрицу правой части к нормальной жордановой форме. Хорошо, если получится диагональная. После этого решить задачу в собственном базисе (с диагональной матрицей) и вернуться к старому с помощью матрицы перехода.

[svv]

Не вижу никакой пользы от необъединения матриц $A, B, C, D$ в одну матрицу $K$, а матриц $Z_n, \zeta_n$ в одну матрицу $X_n$:
$\begin{bmatrix}Z_n\\\zeta_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B\\D&C\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Z_{n-1}\\\zeta_{n-1}\end{bmatrix}\quad\Rightarrow\quad X_n=KX_{n-1}$
Так лучше видно, что столбцы $X_{n-1}$ преобразуются в столбцы $X_n$ независимо: $k$-й столбец $X_n$ зависит только от $k$-ого столбца $X_{n-1}$.
Отсюда $X_n=K^{n-1}X_1$, хоть пользы от такой записи, может быть, и немного.

[Kitozavr]

Матрица получилась диагональная ([url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=[[A%2CB]%2C[C%2CD]][/url])

$$J = \[\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2} \left(A+D-\sqrt{A^2-2 D A+D^2+4 B C}\right) & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \left(A+D+\sqrt{A^2-2 D A+D^2+4 B C}\right) \\ \end{array} \right)\]$$

То есть, теперь я могу искать решение системы $X_n ' = J X_{n-1} '$, а потом от него перейти к решению исходной системы?

[iifat]

svv в сообщении #837864 писал(а):

пользы от такой записи, может быть, и немного

Шо вы такое говорите! Как минимум, такая запись позволяет вычислить $n$-е члены не за $n$ шагов, а воспользоваться ускоренным алгоритмом.

[Otta]

Kitozavr
Абы какая матрица к диагональному виду не приводится.
Но пусть пока наша - такая, что приводится. Для простоты. (Если не приводится, все тоже делается, но требуются коррективы.)

svv в сообщении #837864 писал(а):

Отсюда $X_n=K^{n-1}X_1$, хоть пользы от такой записи, может быть, и немного.

$K=CJC^{-1}$.
$K^n$ теперь легко вычислить. Вычислите, и будет Вам щасте.

[Kitozavr]

Пробую вычислить $K^n$.

$$K^{n-1}X_1 = X_n$$

$$K^n X_1 = K X_n$$

$$K^n X_1 = C J C^{-1} X_n$$

А как избавиться от $X_1$ в левой части, это же вектор и на него не поделишь?

[svv]

$\begin{matrix}K^2=CJC^{-1}\;CJC^{-1}=CJ^2C^{-1}\\K^3=CJ^2C^{-1}\;CJC^{-1}=CJ^3C^{-1}\\...\\K^n=CJ^nC^{-1}\end{matrix}$
за счет того, что $C^{-1}C$ на стыках «сокращаются».

-- Пн мар 17, 2014 16:33:25 --

Kitozavr в сообщении #837918 писал(а):

это же вектор

А я думал, матрица, раз $Z_n$ большой буквой обозначена. Ну, ладно, вектор тоже матрица.

[Kitozavr]

Ага, спасибо svv.
То есть, теперь я подставляю $K^{n-1}$ в $X_n=K^{n-1}X_1$ и получаю ответ - $X_n = C J^{n-1} C^{-1} X_1$?
Ещё не ясно как использовалось допущение, что матрица диагонализируется?

-- Пн мар 17, 2014 17:40:31 --

svv в сообщении #837920 писал(а):

А я думал, матрица, раз $Z_n$ большой буквой обозначена.

В исходной системе матриц нет, везде числа.

[svv]

То есть и $A, B, C, D$ — просто числа?
Думаю, Вы сбили с толку не только меня.

[Kitozavr]

svv в сообщении #837945 писал(а):

То есть и $A, B, C, D$ — просто числа?

Да. Как этот факт повлияет на решение системы?

svv в сообщении #837945 писал(а):

Думаю, Вы сбили с толку не только меня.

Извините .

[Otta]

Нет, я поняла, что числа. И будет лучше их выписать явно, если они даны.

Kitozavr в сообщении #837924 писал(а):

Ещё не ясно как использовалось допущение, что матрица диагонализируется?

Пока никак. К ЖНФ матрица приводится с единственной целью: в ней матрица хорошо возводится в степень. Если ЖНФ диагональна, то какова ее степень? вторая, третья, энная?

[Shadow]

И откуда такие буквы взяли

$\\x_{n+1}=ax_n+by_n\\ y_{n+1}=cx_n+dy_n\\ \Rightarrow\\ x_n=(a+d)x_{n-1}+(bc-ad)x_{n-2} $

если не ошибаюсь, аналогично для y, а это линейное рекуррентное уравнение второго порядка.

[Kitozavr]

Otta в сообщении #837964 писал(а):

И будет лучше их выписать явно, если они даны.

Нет, числа не даны.

Otta в сообщении #837964 писал(а):

Если ЖНФ диагональна, то какова ее степень? вторая, третья, энная?

Я даже не знаю диагональна или нет. Дело в том, что задача из физики и в коэффициентах спрятаны всякие физические параметры, так что я их значений в общем случае не знаю.

[svv]

Kitozavr в сообщении #837947 писал(а):

Как этот факт повлияет на решение системы?

Ну, хорошо повлияет. Даже явные формулы можно написать.

Пусть $E$ — единичная матрица размера $2$. Найдите собственные значения $\lambda_1, \lambda_2$.
Если они различны, то
$K^n=\frac{\lambda_1^n-\lambda_2^n}{\lambda_1-\lambda_2}K+\frac{\lambda_1\lambda_2^n-\lambda_2 \lambda_1^n}{\lambda_1-\lambda_2}E$,
А если совпадают, то
$K^n=n\lambda^{n-1}K-(n-1)\lambda^{n}E$