Эквидистанта эллипса

[Профессор Снэйп]

Ещё один затуп по геометрии. Что со мной такое --- не понимаю. Вроде должно быть элементарно, но вот почему-то путаюсь и плутаю в трёх соснах

Даны действительные величины $a,b,h > 0$. Эллипс задаётся уравнением

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Кривая $\Gamma$ содержит этот эллипс внутри себя и обладает тем свойством, что расстояние от каждой точки $\Gamma$ до эллипса постоянно и равно $h$. Что это за кривая: тоже эллипс или что-то более сложное? И как выглядит уравнение кривой $\Gamma$?

[AlexDem]

Не эллипс. Эллипс можно нарисовать взяв нитку, вбив два гвоздя и, накинув нитку на гвозди, начертить фигуру (пусть расстояние между гвоздями-фокусами = $d$). Можно рассмотреть предельный случай, когда длина нити равна $2d$ - получим вырожденный эллипс-отрезок. Фигура, равноотстоящая от отрезка, эллипсом не будет - это будут две полуокружности с центрами на концах нашего отрезка, соединённые двумя отрезками длины $d$. Насчёт уравнения - забыл, как это делается .

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

Кривая $\Gamma$ содержит этот эллипс внутри себя и обладает тем свойством, что расстояние от каждой точки $\Gamma$ до эллипса постоянно и равно $h$. Что это за кривая: тоже эллипс или что-то более сложное? И как выглядит уравнение кривой $\Gamma$?

Я бы сделал так: написал уравнение нормали к эллипсу и нашел координаты точки на этой нормали, отстоящей от точки эллипса на требуемое расстояние. Попробуйте, а полученные выкладки в случае неудачи пишите здесь - вместе еще чего-нибудь придумаем.

[Профессор Снэйп]

AlexDem писал(а):

Не эллипс. Эллипс можно нарисовать взяв нитку, вбив два гвоздя и, накинув нитку на гвозди, начертить фигуру (пусть расстояние между гвоздями-фокусами = $d$). Можно рассмотреть предельный случай, когда длина нити равна $2d$ - получим вырожденный эллипс-отрезок. Фигура, равноотстоящая от отрезка, эллипсом не будет - это будут две полуокружности с центрами на концах, соединённые отрезками длины $d$. Насчёт уравнения - забыл, как это делается .

Такое свойство эллипса, как постоянство суммы растояний от его точек до фокусов мне известно. Но почему оно не будет выполняться тут, я из Ваших рассуждений так и не понял.

Насчёт уравнения... Ясно, что кривая $\Gamma$ описывается следующей системой (где $(x,y) \in \Gamma$):

$$ \begin{cases} x = x_0 + \frac{hb^2x_0}{\sqrt{b^4x_0^2+a^4y_0^2}} \\ y = y_0 + \frac{ha^2y_0}{\sqrt{b^4x_0^2+a^4y_0^2}} \\ \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1 \end{cases} $$

Теперь надо как-то связать $x$ и $y$, избавившись по ходу от $x_0$ и $y_0$. Как это делать, я не вижу.

Добавлено спустя 1 минуту 35 секунд:

Brukvalub писал(а):

Я бы сделал так: написал уравнение нормали к эллипсу и нашел координаты точки на этой нормали, отстоящей от точки эллипса на требуемое расстояние. Попробуйте, а полученные выкладки в случае неудачи пишите здесь - вместе еще чего-нибудь придумаем.

Ну, это собственно и есть то, что я сделал первым делом. Результат перед вами

[worm2]

Это не эллипс точно, если бы это был эллипс, то задача о нахождении минимального расстояния от точки до элипса была бы простой, а она сложная
Параметрическое-то уравнение легко написать:

$$\left\{\begin{array}{rcl} x&=&a\cos\varphi+\frac{bh}{\sqrt{b^2+a^2\mathop\mathrm{tg^2}\varphi}}\\ y&=&b\sin\varphi+\frac{ah}{\sqrt{a^2+b^2\mathop\mathrm{ctg^2}\varphi}} \end{array} \right.$$

.
Но вот избавиться от параметра тут сложно.

[Профессор Снэйп]

worm2 писал(а):

Параметрическое-то уравнение легко написать:

$$\left\{\begin{array}{rcl} x&=&a\cos\varphi+\frac{h}{\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}\mathop\mathrm{tg}\varphi}}\\ y&=&b\sin\varphi+\frac{h}{\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}\mathop\mathrm{ctg}\varphi}} \end{array} \right.$$

.
Но вот избавиться от параметра тут сложно.

То есть Вы параметризуете так: $x_0 = a\cos\varphi$ и $y_0=b\sin\varphi$. Подставляя это в систему из моего предыдущего сообщения, получаем

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&a\cos\varphi+\frac{bh\cos\varphi}{\sqrt{b^2\cos^2\varphi+a^2\sin^2\varphi}}\\ y&=&b\sin\varphi+\frac{ah\sin\varphi}{\sqrt{b^2\cos^2\varphi+a^2\sin^2\varphi}} \end{array} \right. $$

То же самое, что и у Вас. Да, это я тоже писал...

Добавлено спустя 3 минуты 22 секунды:

Стоп! Нет, не то же самое. Мне кажется, что у Вас тангенс и котангенс должны быть с квадратами. Или это я ошибся?

[worm2]

Ну, дальше можно попробовать рационально выразить тригонометрические функции через тангенс половинного угла, получить в итоге параметризацию с помощью рациональных функций и радикалов.
Потом, может быть, получится избавиться от радикалов и получить чисто рациональную параметризацию, а там... наверное, я чушь порю

Добавлено спустя 1 минуту 1 секунду:

Ой! Конечно, тангенс и котангенс должны быть с квадратами.
Сейчас поправлю.

[Профессор Снэйп]

Профессор Снэйп писал(а):

AlexDem писал(а):

Не эллипс. Эллипс можно нарисовать взяв нитку, вбив два гвоздя и, накинув нитку на гвозди, начертить фигуру (пусть расстояние между гвоздями-фокусами = $d$). Можно рассмотреть предельный случай, когда длина нити равна $2d$ - получим вырожденный эллипс-отрезок. Фигура, равноотстоящая от отрезка, эллипсом не будет - это будут две полуокружности с центрами на концах, соединённые отрезками длины $d$. Насчёт уравнения - забыл, как это делается .

Такое свойство эллипса, как постоянство суммы растояний от его точек до фокусов мне известно. Но почему оно не будет выполняться тут, я из Ваших рассуждений так и не понял.

Прошу прощения --- понял, что Вы имели в виду. Отрезок --- это действительно вырожденный эллипс. Только у Вас небольшая опечатка: длину нити надо брать не $2d$, а $d$, то есть равной расстоянию между фокусами.

Да, похоже, что действительно не эллипс... И странно как-то выглядит, что (пусть даже и в вырожденном случае) кривая получается не бесконечно гладкой (сопрягаем отрезки прямых и окружности, получается, что кривизна кривой $\Gamma$ меняется "скачком").

[AlexDem]

Профессор Снэйп писал(а):

длину нити надо брать не $d$, а $2d$, то есть равной расстоянию между фокусами.

Ну, просто имелось в виду, что нить связана в кольцо.

PS: а уведомления об ответах действительно не приходят...

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Да, похоже, что действительно не эллипс... И странно как-то выглядит, что (пусть даже и в вырожденном случае) кривая получается не бесконечно гладкой (сопрягаем отрезки прямых и окружности, получается, что кривизна кривой $\Gamma$ меняется "скачком").

а чего тут странного? Отрезок -- изначально не гладкое многообразие из-за наличия краёв. И вообще, эквидистантные линии вовсе не обязаны быть гладкими, возможны каустики. Да хоть и для того же эллипса, если точки откладывать не наружу, а внутрь.

[Алексей К.]

Когда-то я тоже заинтересовался --- что за кривые, эквидистанты эллипса? Исключение параметра (рецепты рассказаны выше) даёт кривую 16-го порядка, распадающуюся на две кривые 8-го порядка $F_1(x,y)\cdot F_2(x,y)=0$. Следует ожидать, что это были внутренняя и внешняя эквидистанты ($h\lessgtr 0$). При $b=0$, действительно, получается $F_i(x,y)=(y^2-h^2)\cdot C_1(x,y)\cdot C_2(x,y)$, где $C_i(x,y)$ --- уравнения двух окружностей радиуса $h$ с центрами в $(\pm a,0)$. "Лишние" решения (нам ведь нужны только отрезки прямых $y=\pm h$ и полуокружности) связаны с возведением в квадрат при исключении параметра.

[Батороев]

Профессор Снэйп писал(а):

Что это за кривая: тоже эллипс или что-то более сложное?

Эллипс можно рассматривать, как проекцию окружности на плоскость, находящуюся к плоскости окружности под углом. При этом большая ось эллипса равна диаметру окружности, а малая ось - это произведение диаметра на косинус упомянутого выше угла.

Запишем для исходного эллипса:
$ a = D $
$ b = Dcos\alpha $

Предположим, что $ \Gamma $ - эллипс.
Тогда должно быть:
$ a_\Gamma = a+2h = D+2h =D_\Gamma $
$ b_\Gamma = b+2h = Dcos\alpha + 2h = D_\Gamma cos\beta $, где $\alpha, \beta $ - углы между окружностями и их проекциями (эллипсами).

Откуда, выразив $ 2h $ и приравняв выражения, придем к противоречию.

[Iro]

http://yandex.ru/clck/jsredir?from=yandex.ru%3Byandsearch%3Bweb%3B%3B%2Fweb%2Fitem%2Ftitle%2Cpos%2Cp3%2Csource%2Cweb%2Cpre%2Csitelinks&text=%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D1%8D%D0%BA%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%82%D1%8B%20%D0%BA%20%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%B9&uuid=&state=AiuY0DBWFJ4ePaEse6rgeAjgs2pI3DW99KUdgowt9Xsh9AmfW_e8f9GUMD6v8o-ECih3veavQ0-spea9MT0jp6-QytcFQ3r8o0XxxkSE9a7EJE_dOcmqzNVbqCD5sO7oAc7oilbr7UT9tfjrTp_OEsvxo1bFP32g8YDML1T8DqQN0rrJ63V2ZcDYEf_WZkmV4MSiadooQqICZ_cqjHSfJRWXC1n04756gCjQVn1j_IrOhC8-bVqbaA&data=UlNrNmk5WktYejR0eWJFYk1LdmtxdHhnYjFVaWVwMVRQVk5zRW9mTWFRZ0hCQTJpaWJEUHZNLXhVR2pSSklsSEFVU21na2lqZGU3TF91MGVCa2ljQ1FNRGwyVmY2cE1jb2k5Ulc3dnJwSG01UGY0bHFkNXJ2VTUzbGozTm9qdjVXSmRhc0wwZXpWOA&b64e=2&sign=1080e35503dda6504e7d4f8893691f23&keyno=0&l10n=ru&mc=5.30041592599377

Читай на стр. 53

[Shtorm]

А вот по этой ссылке даётся чёткое и однозначное представление об уравнениях эквидистант (через теорему), если кривая задана параметрически (а затем, если кривая задана $y=f(x)$):

эквидистанта

И сразу ниже пример про эллипс.

[Toucan]

Iro, замечание за некропостинг и нарушение правил размещения внешних сслылок

Администрация в Правилах форума писал(а):

5.2. Любая внешняя ссылка должна быть снабжена достаточно подробной аннотацией того, куда она ведет и каким образом относится к вопросу. Описание должно быть достаточным для того, чтобы читатели могли принять решение, стоит ли им переходить по данной ссылке.