Планиметрия, найти геом. место точек

[Deceiver]

"Рассмотрим на плоскости прямой угол $ABC$. Для каждого отрезка $XY$ , для которого X принадлежит лучу $BA$, а $Y$ — лучу $BC$ рассмотрим точку $Z$ на отрезке $XY$ такую, что $XZ = 2ZY$ . Найдите геометрическое место таких точек $Z$."

Единственное, что пока приходит в голову, если доказать, что $BZ$ - высота, то $BX^2=BY^2, BX^2=2BY^2$. Но всего лишь предположение, как доказать - не особо понятно.
В общем, натолкните, пожалуйста, на мысль.

[SpBTimes]

А координатно и решайте. Пусть точка $B$ совпадает с началом координат. $X$ имеет координаты $(x; 0)$, а $Y$ координаты $(0; y)$. Можете теперь найти координаты точки $Z$? Задача о делении отрезка в заданном отношении.

[provincialka]

Весь угол и будет ГМТ

[Deceiver]

SpBTimes, постойте, то есть все, что требуется в ответе, - это координаты точки Z, выведенные в общем виде? Или Вы всё же не это имели в виду и, как написала provincialka, ГМТ будет угол?

[svv]

Координаты точки $Z$, если их находить так, как подсказал SpBTimes, в конце концов и превратятся в координаты любой точки угла, потому что всех отрезков $XY$, удовлетворяющих условиям задачи, слишком много.

Задача была бы интереснее, если бы длина отрезка $XY$ была задана. Тогда бы геометрическим местом точек была бы четверть эллипса. А так...

[provincialka]

Кстати, догадавшись до ответа, его можно доказать и чисто геометрически. Например, есть такая задача: "Внутри угла задана точка, построить отрезок с вершинами на сторонах угла, который делится этой точкой пополам". Здесь исходная точка произвольна. А в задаче ТС вместо "пополам" делят в отношении 1:2, разница не принципиальная.

[SpBTimes]

Deceiver

Deceiver в сообщении #837713 писал(а):

постойте, то есть все, что требуется в ответе, - это координаты точки Z, выведенные в общем виде?

Можно и так сказать. Но карты вам уже раскрыли))