Почему одна функция элементараная, а вторая - нет?

[Munin]

Ну предлагайте такой класс.

Вообще, есть такая штука, как спецфункции. Часто какие-то системы спецфункций обладают достаточно хорошими свойствами симметрии, чтобы можно было расширить класс элементарных функций, включив в него ту или иную систему спецфункций. Для разных систем, повторяю. Но этого не делают, чисто по традиции.

[Anixx]

Цитата:

Большинство специальных функций ничуть не хуже элементарных. Но и "переносить" их какой смысл? Что бы называть элементарными? И какой смысл?
Уж как устоялось, пусть так и будет. Зато все чётко понимают, о чём идёт речь, когда говорят об элементарных функциях.

На текущий момент я бы сказал, что элементарные функции замкнуты относительно операции дифференцирования по любому аргументу. Какой еще класс функций, которые можно получить из конечного набора базовых, удовлетворяет этому условию?

[Ms-dos4]

Так сразу не скажу, но Бессели вроде бы замкнуты, эллиптические (Якоби) при дифференцировании по переменной (не параметру) замкнуты. Если добавить к Гамма функциям Полигамма функции, они тоже будут замкнуты. Полилогарифмы, кажется, замкнуты.

[Anixx]

Ну так параметр - это же второй аргумент.

[Ms-dos4]

Anixx
Если вам нечего делать интересно, берите справочники и смотрите, как находятся производные конкретных спецфункций.

[Anixx]

Ms-dos4 в сообщении #837466 писал(а):

Anixx
Если вам нечего делать интересно, берите справочники и смотрите, как находятся производные конкретных спецфункций.

Вы думаете, такой класс кроме элементарных существует?

[nikvic]

Anixx в сообщении #837356 писал(а):

svv в сообщении #837353 писал(а):

А что это за функция, которая элементарная?

$\csc^2 x - \frac1{x^2}$

Вот сейчас видно, что первая из функций - элементарная: она допускает "элементарное" представление в виде формулы с конечным числом известных операторов. Никакой ряд к таким представлениям не относится.

[kp9r4d]

Anixx
Уже приводили пример Гамма/Полигамма функций.

[Anixx]

kp9r4d в сообщении #837741 писал(а):

Anixx
Уже приводили пример Гамма/Полигамма функций.

И что, производные полигаммы выражаются через полигамму? Очень интересно! Покажите, как.

Производная гаммы выражается через гамму? Покажите, как.

[Ms-dos4]

Anixx
Имели ввиду не это, а вместе, гамма+полигамма функции дадут замкнутую систему. $\[{\psi _n}(z) = \psi _0^{(n)}(z)\]$, $\[{\psi _0} = \frac{{\Gamma '(z)}}{{\Gamma (z)}}\]$.

[g______d]

Ms-dos4 в сообщении #837358 писал(а):

Просто по определению, элементарная функция это алгебраическая функция от некоторой переменной, а так же экспонент и логарифмов каких то алгебраических функций этой переменной.

Надо уточнить: что считается алгебраической функцией? Обычно под этим понимается функция, удовлетворяющая соотношению $p(x,f(x))=0$, где $p$ – полином от двух переменных. При таком определении $\theta$-функция, например, будет элементарной, а это обычно не принято.

Возможно, Вы имели в виду функции, выражающиеся через радикалы. Тогда определение можно упростить: наименьший класс, содержащий константы, экспоненту и логарифм и замкнутый относительно сложения и композиции. Даже умножение можно выразить с помощью логарифма :)

[Anixx]

Ms-dos4 в сообщении #837745 писал(а):

Anixx
Имели ввиду не это, а вместе, гамма+полигамма функции дадут замкнутую систему. $\[{\psi _n}(z) = \psi _0^{(n)}(z)\]$, $\[{\psi _0} = \frac{{\Gamma '(z)}}{{\Gamma (z)}}\]$.

В этой системе конечное количество функций?

[kp9r4d]

Anixx в сообщении #837748 писал(а):

В этой системе конечное количество функций?

Элементарных функций тоже не конечное число.

[Ms-dos4]

g______d
Вообще да, основное второе определение.
(Хотя это определение иногда обобщают добавлением операции решения алгебраических уравнений степени не выше $\[n\]$, но ту вы правы, при $\[n \ge 5\]$ полезут тета функции)..

[Anixx]

kp9r4d в сообщении #837751 писал(а):

Anixx в сообщении #837748 писал(а):

В этой системе конечное количество функций?

Элементарных функций тоже не конечное число.

Все элементарные функции получаются из конечного числа базовых.