Коммутативность кольца

[Terraniux]

Всем здравствуйте.
В Кострикине 1-м томе есть задача:
Установить коммутативность любого кольца, в котором для любого элемента выполено. $x^2 = x$.
Верно ли такое рассуждение - $x = x^2 = (-x)^2 = -x \rightarrow \forall x \colon -x = x$, следовательно кольцо состоит из нулевых элементов, значит утверждение верно.

[patzer2097]

Ваше рассуждение только показывает, что $x+x=0$ в таких кольцах. впрочем, и для коммутативности доказательство простое:
$x+y=(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y$.

Можете попробовать закончить доказательство сами. А подробнее о таких кольцах можете прочитать тут

[Terraniux]

patzer2097 в сообщении #837307 писал(а):

Ваше рассуждение только показывает, что $x+x=0$ в таких кольцах. впрочем, и для коммутативности доказательство простое:
$x+y=(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y$.

Можете попробовать закончить доказательство сами. А подробнее о таких кольцах можете прочитать тут

к этому тоже приходил. Тогда $xy = -yx = yx$. Спасибо за помощь!
А в кольцах c $x^3 = x$?

[patzer2097]

Terraniux в сообщении #837317 писал(а):

А в кольцах c $x^3 = x$?

если (для фиксированного $n$) выполнено условие $x^n=x$ для любого $x$ в кольце, то это кольцо коммутативно. Для $n=3$ доказательство еще элементарное, но уже не простое; можете прочитать его здесь