2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Коммутативность кольца
Сообщение15.03.2014, 22:04 
Всем здравствуйте.
В Кострикине 1-м томе есть задача:
Установить коммутативность любого кольца, в котором для любого элемента выполено. $x^2 = x$.
Верно ли такое рассуждение - $x = x^2 = (-x)^2 = -x \rightarrow \forall x \colon -x = x$, следовательно кольцо состоит из нулевых элементов, значит утверждение верно.

 
 
 
 Re: Коммутативность кольца
Сообщение15.03.2014, 22:11 
Ваше рассуждение только показывает, что $x+x=0$ в таких кольцах. впрочем, и для коммутативности доказательство простое:
$x+y=(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y$.

Можете попробовать закончить доказательство сами. А подробнее о таких кольцах можете прочитать тут

 
 
 
 Re: Коммутативность кольца
Сообщение15.03.2014, 22:40 
patzer2097 в сообщении #837307 писал(а):
Ваше рассуждение только показывает, что $x+x=0$ в таких кольцах. впрочем, и для коммутативности доказательство простое:
$x+y=(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y$.

Можете попробовать закончить доказательство сами. А подробнее о таких кольцах можете прочитать тут

к этому тоже приходил. Тогда $xy = -yx = yx$. Спасибо за помощь!
А в кольцах c $x^3 = x$?

 
 
 
 Re: Коммутативность кольца
Сообщение15.03.2014, 23:07 
Terraniux в сообщении #837317 писал(а):
А в кольцах c $x^3 = x$?
если (для фиксированного $n$) выполнено условие $x^n=x$ для любого $x$ в кольце, то это кольцо коммутативно. Для $n=3$ доказательство еще элементарное, но уже не простое; можете прочитать его здесь

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group