Возрастающая инъекция

[Mikhail Sokolov]

Существует ли возрастающая инъекция $I$ из множества $\left\{ x,y \in \mathbb{R}: x \leqslant y \right\}$ в $\mathbb{R}$?
Под возрастанием понимается, то, что из $x \leqslant x'$, $y<y'$ или $x<x'$, $y\leqslant y'$ следует $I(x,y) < I(x',y')$.

Спасибо.

P.S. Просто инъекция (не обязательно монотонная), естественно существует (так как мощности множеств совпадают). Собственно, вопрос в том, не портит ли требование монотонности этот факт.

[Алексей К.]

А что, любая функция, для которой $\frac{\partial I}{\partial x}> 0$, $\frac{\partial I}{\partial y}> 0$ с этим не справляется?

[Mikhail Sokolov]

Предложенная вами функция непрерывна, а значит не может являться инъекцией (то есть для нее из того, что $I(x,y)=I(x',y')$ не следует, что $x=x'$, $y=y'$).

[yvanko]

Красивая задачка, спасибо. Если я не ошибся, демаес так:
Рассматривем подмножество всех рац. точек, упорядочиваем их. далле:

$$Q\times Q = \{x_1,...,x_n,...\}, f(x,y) = \mathop{\Sigma}_{x_i<(x,y)} \frac{1}{2^i} $$

где две точки сравниваются так же как в условии монотонности. получается монотонная инъекция

[Mikhail Sokolov]

Спасибо. Вот тут предложили что-то отдаленно похожее: http://mathforum.org/kb/message.jspa?me ... 1&tstart=0

[yvanko]

Там не совсем эту задачу решили. там была не инъеккция, а всего лишь
G(x,y) = G(z,z) if and only if x = y = z.