13^2=172

[Ktina]

В какой системе счисления

$$ 13^2=172$$

?

[kp9r4d]

Нету такой. Если основание системы счисления — q то должно выполнятся (все выкладки приведены в десятичной)
$3^2=2 \mod q$
Очевидно, что такого $q \geqslant 8$ не существует.
Или имеются в виду не только позиционные СС с натуральным основанием?

[whitefox]

7-ричная, с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
В десятичной это равенство означает $10^2=100$

[Ktina]

kp9r4d в сообщении #835713 писал(а):

Или имеются в виду не только позиционные СС с натуральным основанием?

Да.

[Ktina]

Так давать уже ответ или рановато пока?

[Yadryara]

Так ведь есть промежуточное действие — дать подсказку.

[warlock66613]

Обычные позиционные системы не подходят никакие: попробовал основание в виде двойного числа, дуального, кватерниона и матрицы $2 \times 2$. Нигде нетривиальных решений не появилось - везде получается $7$.

[whitefox]

Ktina в сообщении #836199 писал(а):

Так давать уже ответ или рановато пока?

А мой ответ Вы не засчитываете?
А почему?

Обозначим основание системы счисления $b$, тогда Ваша формула означает $(b+3)^2=b^2+7b+2$
то есть $b^2+6b+9=b^2+7b+2$
следовательно $b=7$

Таким образом мы имеем 7-ричную систему счисления в которой отсутствует цифра 0, но есть цифра 7.
Некоторые авторы называют такие системы счисления "алфавитной нумерацией" (А.И. Мальцев "Алгоритмы и рекурсивные функции" глава V пункт 11.1).
Эта система примечательна тем, что задаёт взаимно однозначное соответствие между натуральными числами и словами в алфавите {1,2,3,4,5,6,7}, например нулю соответствует пустое слово, семёрке слово — 7, а восьмёрке слово — 11.

[Yadryara]

whitefox

Видимо Ваше, правильное по сути решение, не совпадает с авторским.

Тут дело скорее всего в том, что задача помещена не в олимпиадный раздел, а именно в головоломный.

То есть у Вас решение чисто математическое, а название раздела подразумевает наличие других ходов. То есть задумана какая-то Игра, которую мы пока просто не видим.

[Tod Leben]

$10^2=100$ ?

[Ktina]

whitefox в сообщении #836241 писал(а):

Ktina в сообщении #836199 писал(а):

Так давать уже ответ или рановато пока?

А мой ответ Вы не засчитываете?

Кто сказал?

-- 13.03.2014, 11:08 --

Yadryara в сообщении #836205 писал(а):

Так ведь есть промежуточное действие — дать подсказку.

Большинство систем счисления не являются позиционными.

[Yadryara]

Ktina в сообщении #836280 писал(а):

Большинство систем счисления не являются позиционными.

Такая подсказка уже была.

[whitefox]

В не позиционной системе представляемое число обычно равно сумме значений присвоенных цифрам. В римской нумерации используется ещё и вычитание когда меньшая цифра стоит перед большей.

Применяя это правило к нашему уравнению, справа получим $-1+7+2=8$.
Если выражение слева понимать как $1(3^2)$, то его значение будет $-1+9=8$.

А если не использовать вычитание, тоже получим равенство:
$1(3^2)=1+9=10$
$1+7+2=10$

[Ktina]

Вторая подсказка: часы

[warlock66613]

Можно много разных систем придумать.
Например, такую. Для записи числа используются арабские цифры $0$, $1$, $2$, $3$ и $7$. Значение числа образует сумма цифр, стоящих на нечётных местах (считая слева направо с нуля) минус сумма цифр, стоящих на чётных местах. В такой системе равенство означает $2^2 = 4$. Но здесь существенно нарушается единственность записи числа: $13 = 2$, а $172$ можно записать и как $37$.