Общее решение диофантова уравнения

[Sonic86]

$x^2+xy+y^2=z^3$ хотя бы для $3\nmid x-y$ (если это сильно поможет)
Я делаю подстановку $x=dx_1, y=dy_1, x_1\perp y_1$, $R$ - наименьшее натуральное число такое, что $d^2\mid R^3, z=Rz_1, R^3=d^2Q$. Получаю $x_1^2+x_1y_1+y_1^2=Qz_1^3$, откуда уже несложно найти, что $x-\omega y\perp x-\omega y^2$ ($\omega=\exp\frac{2\pi i}{3}$) и тогда $x_1-\omega y_1=(u-v\omega)(a-b\omega)^3, Q=u^2+uv+v^2$ (единицы я пока потерял). И в итоге:

$$\begin{cases} z=R^2(a^2+ab+b^2) \\ x=d(u(a^3-b^3-3ab^2)-3abd(a+b)) \\ y=d(3ab(a+b)(c-d)+v(a^3-b^3-3ab^2)) \\ R^3=d^2(u^2+uv+v^2) \end{cases}$$

И теперь не знаю, что делать с последним уравнением - оно почти равносильно исходному. Можно ли от него "избавиться" - переписать решение так, чтобы все параметры были свободными? Или последнее соотношение нам намекает на то, что решение уравнения должно иметь принципиально иной вид - рекуррентный? Или в принципе бессмысленно искать решение в виде многочленов и проще описывать его через элементы $\mathbb{Z}[\omega]$?

[Коровьев]

Sonic86 в сообщении #834467 писал(а):

Или в принципе бессмысленно искать решение в виде многочленов и проще описывать его через элементы $\mathbb{Z}[\omega]$?

Несомненно проще описывать его через элементы $\mathbb{Z}[\omega]$, если принять, как теоретическое данное, что разложение в этом кольце однозначно. Тогда Ваше выражение сильно упростится
$$x-\omega y=\omega^k(a-b\omega)^3$

$k=0,1,2$
И получаются три серии решений которые описывают все решения исходного уравнения, возможно и с пересечениями. Но без ссылки на теорию одной арифметикой полноту решений не доказать.

[Sonic86]

Коровьев в сообщении #834803 писал(а):

Несомненно проще описывать его через элементы $\mathbb{Z}[\omega]$, если принять, как теоретическое данное, что разложение в этом кольце однозначно.

Сразу считаем, что вся доступная теория известна.

Коровьев в сообщении #834803 писал(а):

Тогда Ваше выражение сильно упростится
$x-\omega y=\omega^k(a-b\omega)^3$
$k=0,1,2$

А у меня так не получается. Например, $(14;7;7)$ удовлетворяет исходному уравнению, а соотношению $x-\omega y=\omega^k(a-b\omega)^3$ не удовлетворяет, т.к. $2-\omega$ и $2-\omega^2$ не ассоциированны. Или я ошибаюсь?

Вообще, конечно, было бы хорошо, если бы оказалось, что не надо возиться с НОДами. Но без НОДов я не получу соотношение $x-\omega y\perp x-\omega y^2$.

[Andrey A]

Sonic86 в сообщении #834467 писал(а):

$x^2+xy+y^2=z^3$

Домножая все на $4$, получаем $(x-y)^2+3(x+y)^2=4z^3$.
Следовательно, $z$ - число вида $p^2+3q^2$, и каждый делитель его - число того же вида. В нечетных степенях канонического разложения $z$ возможны тройка и простые вида $6k+1$ (необходимое и достаточное условие разрешимости Вашего уравнения).
Пусть $4z^3=A^2+3B^2$ ($A,B$ - вз. простые) и $d=a^2+3b^2$ - простой делитель $z^3$ (или степень простого). Тогда при должном выборе знаков можно получить целые
$A_1=\frac{6abB\pm (a^2-3b^2)A}{d}$ и $B_1=\frac{2abA\mp (a^2-3b^2)B}{d}$ такие, что $A_1^2+3B_1^2=4z^3$. $\frac{B_1+A_1}{2}=x_1; \frac{B_1-A_1}{2}=y_1$. Используя новые пары и другие делители, можно получить новые отображения, предполагаю, что все. Тогда это в некотором смысле - решение (безответный пост topic80908.html). Задайте число для интересу.

[Коровьев]

Sonic86 в сообщении #834834 писал(а):

Например, $(14;7;7)$ удовлетворяет исходному уравнению, а соотношению $x-\omega y=\omega^k(a-b\omega)^3$ не удовлетворяет, т.к. $2-\omega$ и $2-\omega^2$ не ассоциированны. Или я ошибаюсь?

Не ошибаетесь.
Пусть
$$ x - \omega y = a\left( {a^2 + ab + b^2 } \right) + b\left( {a^2 + ab + b^2 } \right)\omega $
Тогда
$$ x^2 + xy + y^2 = \left( {a^2 + ab + b^2 } \right)^3 $
но
$$ x - \omega y \ne \omega ^k \left( {c + \omega d} \right)^3 $
Однако, это не отменяет однозначность разложения на простые множители в данном кольце.
Просто обычно задачу решают для взаимно простых чисел и ранее упомянутые серии это обеспечивают.
Но если есть необходимость найти все, не только взаимно простые решения, то надо каждое решение просто домножить на множитель, упомянутый выше, что приводит к общему, трудноперевариваемому решению.
$$ x - \omega y = \left( {a^2 + ab + b^2 } \right)\left( {a - b\omega } \right)\left( {c + \omega d} \right)^3 \omega ^k $

[galenin]

Как же по вашим формулам найти, допустим:
$36^2+36\cdot 17+17^2=13^3$
$57^2+57\cdot 38 +38^2=19^3$
$60^2+60\cdot 51 +51^2=21^3$
$73^2+73\cdot 17 +17^2=19^3$

[Коровьев]

galenin в сообщении #835230 писал(а):

Как же по вашим формулам найти, допустим:
$36^2+36\cdot 17+17^2=13^3$
$57^2+57\cdot 38 +38^2=19^3$
$60^2+60\cdot 51 +51^2=21^3$
$73^2+73\cdot 17 +17^2=19^3$

Надо взять общее решение
$$ x - \omega y = \left( {a^2 + ab + b^2 } \right)\left( {a - b\omega } \right)\left( {c + \omega d} \right)^3 \omega ^k $
И подобрать коэффициенты.
Для первого уравнения
$$ 17 - 36\omega = \left( {1^2 + 1 \cdot 0 + 0^2 } \right)\left( {1 - 0 \cdot \omega } \right)\left( {3 + \omega \left( { - 1} \right)} \right)^3 \omega ^0 $
Для третьего уравнения самое сложное
$$ 51 - 60\omega = \left( {1^2 + 1 \cdot 1 + 1^2 } \right)\left( {1 - \omega } \right)\left( {2 - \omega } \right)^3 \omega ^2 $

[galenin]

Но это же не дело. Проще тогда полный перебор целочисленных x, y, z. Неужели нельзя подобрать формулы как это сделано для
$x^2+y^2=z^2$
???

[Sonic86]

galenin в сообщении #835326 писал(а):

Проще тогда полный перебор целочисленных x, y, z. Неужели нельзя подобрать формулы как это сделано для
$x^2+y^2=z^2$

Нет никакого полного перебора. Вот формула:

Коровьев в сообщении #835317 писал(а):

$x - \omega y = \left( {a^2 + ab + b^2 } \right)\left( {a - b\omega } \right)\left( {c + \omega d} \right)^3 \omega ^k $

А подбор значений параметров будет делаться полным перебором и для решений уравнения $x^2+y^2=z^2$.
Надо проверить сначала хотя бы. Я - позже.

[galenin]

Нет, ну как так? Беру книгу В.Серпинского "Пифагоровы треугольники", там для $x^2+y^2=x^2$ приводится полное решение
$x=m^2-n^2 \, ; \,\, y=2mn\, ; \, \, z=m^2+n^2$
Ничего не надо подбирать. Просто чтобы были основные тройки чисел (их, кажется, называют примитивными), нужно выполнить условия разной четности целочисленных параметров $m$ и $n$ , и их взаимной простоты. Ну и чтобы $m>n$.
Здесь же у вас как догадаться что $x=36$ или $17$ ? Я должен что ли натуральный ряд перепробывать?
А сколько тогда придется потеть, чтобы добраться до варианта
$251^2+251\cdot 378 +378^2=67^3$

[Sonic86]

(Оффтоп)

в игнор же! Сами себя запутали, сами себя и распутывайте.

[galenin]

Причем тут игнор? Я простые вопросы задаю. Вы предложили решение, расчленив $z$ на еще три параметра. Только усложнили исходное уравнение.

[Коровьев]

galenin в сообщении #835426 писал(а):

Здесь же у вас как догадаться что $x=36$ или $17$ ? Я должен что ли натуральный ряд перепробывать?
А сколько тогда придется потеть, чтобы добраться до варианта
$251^2+251\cdot 378 +378^2=67^3$

Вы поставили абсолютно другую задачу - Найти взаимно простые целые числа $x,y$ удовлетворяющих уравнению
$x^2+xy+y^2=67^3$
Общая формула позволяет это сделать с очень минимальным перебором параметров, в отличии от сплошного перебора.
Для данного случая (67 - простое число) и взаимно простых $x,y$ формула очень проста
$$x-\omega y=(a-b\omega)^3\omega^k$
Для начала, нужно найти решение
$a^2+ab+b^2=67$
в положительных $a,b$, чтобы меньше перебирать. Это $a=7,b=2$ . Подставив их в уравнение и произведя вычисления для трёх различных $k$ вы получите три пары решений (с точностью до перестановки знака )первоначального уравнения, и среди них найдётся и ваше решение, ибо других решений при взаимно простых $x,y$ не существует.
(629,-378),(251,378),(629,-251)

[galenin]

То есть, если я правильно понял
$z=a^2+ab+b^2$
Логично было бы найти формулы для x и y .
Или это сделать невозможно, как для формулы Пифагора?

[galenin]

Немного повозился и нашел совсем уж простое, но не думаю, что всеобъемлющее
$x=a(a^2+ab+b^2)$
$y=b(a^2+ab+b^2)$
$z=a^2+ab+b^2$
Может, ошибся в вычислениях? Вручную все-таки трудно возводить в степени.