Вектан

[Dimqa]

Здравствуйте не могу никак взять в толк доказательство:
$\operatorname{rot}[A\cdot B] = A\cdot\operatorname{div}B - B\cdot\operatorname{div}A + (b\cdot\nabla)A-(A\cdot\nabla)B$
До знака "+" мне все понятно, правило "BAC-CAB", а во второй части никак не соображу.
Я знаю что оператор "действует" сначала на А потом (после плюса) на B. Вот только принцип его действия во второй части не ясен.

[ewert]

Выражение типа $A(\nabla\cdot B)$, будучи всё-таки производной произведения, интерпретируется как $A(\nabla\cdot\dot B)+\dot A(\nabla\cdot B)$, где точка вверху показывает, какой именно из двух сомножителей дифференцируется в данном слагаемом. При этом точку в первом слагаемом можно безболезненно убрать: по умолчанию набла и так действует только на второй сомножитель -- на тот, который стоит после него. А чтобы то же правило умолчания действовало и для второго слагаемого, надо попросту формально поменять в нём порядок сомножителей; так и выходит $A(\nabla\cdot B)+(B\cdot\nabla)A$.

[Oleg Zubelevich]

Dimqa в сообщении #835005 писал(а):

равствуйте не могу никак взять в толк доказательство:
$\operatorname{rot}[A\cdotB] = A\cdot\operatorname{div}B - B\cdotoperatorname{div}A + (b\cdot\nabla)A-(A\cdot\nabla)B$

последние два слагаемых называются коммутатором векторных полей, под ротором должно стоять векторное произведение полей $A,B$. Как и любая другая формула векторного анализа, эта формула доказывается лобовым вычислением в координатах

[Munin]

Обозначим вектор, на который действует дифференцирование, стрелочкой. Тогда слева будет стоять:
$\operatorname{rot}[\mathbf{AB}]=\operatorname{rot}[\mathbf{\overset{\downarrow}{A}\overset{\downarrow}{B}}].$
Распишем это по правилу Лейбница: производная первого сомножителя, плюс производная второго:
$\operatorname{rot}[\mathbf{\overset{\downarrow}{A}\overset{\downarrow}{B}}]=\operatorname{rot}[\mathbf{\overset{\downarrow}{A}B}]+\operatorname{rot}[\mathbf{A\overset{\downarrow}{B}}].$
А теперь уже применяем вдоволь "БАЦ минус ЦАБ". К первому слагаемому и ко второму:
$\operatorname{rot}[\mathbf{\overset{\downarrow}{A}B}]=[\nabla[\mathbf{\overset{\downarrow}{A}B}]]=\mathbf{\overset{\downarrow}{A}}(\nabla\mathbf{B})-\mathbf{B}(\nabla\mathbf{\overset{\downarrow}{A}}),$
$\operatorname{rot}[\mathbf{A\overset{\downarrow}{B}}]=[\nabla[\mathbf{A\overset{\downarrow}{B}}]]=\mathbf{A}(\nabla\mathbf{\overset{\downarrow}{B}})-\mathbf{\overset{\downarrow}{B}}(\nabla\mathbf{A}),$
и наконец, упорядочиваем произведения так, чтобы оператор оказался перед той буквой, на которую действует, и после той, на которую не действует:
$\mathbf{\overset{\downarrow}{A}}(\nabla\mathbf{B})-\mathbf{B}(\nabla\mathbf{\overset{\downarrow}{A}})=(\mathbf{B}\nabla)\mathbf{\overset{\downarrow}{A}}-\mathbf{B}(\nabla\mathbf{\overset{\downarrow}{A}})=(\mathbf{B}\operatorname{grad})\mathbf{A}-\mathbf{B}\operatorname{div}\mathbf{A}$
$\mathbf{A}(\nabla\mathbf{\overset{\downarrow}{B}})-\mathbf{\overset{\downarrow}{B}}(\nabla\mathbf{A})=\mathbf{A}(\nabla\mathbf{\overset{\downarrow}{B}})-(\mathbf{A}\nabla)\mathbf{\overset{\downarrow}{B}}=\mathbf{A}\operatorname{div}\mathbf{B}-(\mathbf{A}\operatorname{grad})\mathbf{B}.$

P. S. То же самое, что написал ewert, только в другом порядке.

[ewert]

Возможно, вопрос был не в этом:

Dimqa в сообщении #835005 писал(а):

Вот только принцип его действия во второй части не ясен.

Что такое $(\nabla\cdot B)$? Это -- скалярная функция, полученная формально как скалярное произведение вектора $\nabla$ на вектор $B$. Причём этот последний подвергается дифференцированию, поскольку стоит после наблы. Соответственно, $(B\cdot\nabla)$ -- это скалярная дифференциальная операция, полученная формальным умножением вектора $B$ на вектор $\nabla$ (компоненты вектора $B$, поскольку стоят перед наблой, в данном случае не дифференцируются, а входят в сумму просто как множители перед символами частного дифференцирования). И вот эта-то дифференциальная операция и применяется затем к вектору $A$.

[Dimqa]

Munin
ewert

Спасибо вам.
Проблема была в "упорядочиваем произведения так, чтобы оператор оказался перед той буквой, на которую действует".
Я упорядочивание не делал поэтому в результате и получалось два слагаемых

[Oleg Zubelevich]

интересно, а верна ли эта формула в случае неевклидовой метрики?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #835061 писал(а):

а верна ли эта формула в случае неевклидовой метрики?

Не знаю (не имел дела); но, по идее, должна бы -- производные-то ведь всего лишь первого порядка.

[exitone]

Oleg Zubelevich в сообщении #835061 писал(а):

интересно, а верна ли эта формула в случае неевклидовой метрики?

а в неевклидовой метрике можно считать градиент вектором?

[B@R5uk]

Можно ещё взять и в какой-нибудь системе координат честно расписать по координатам векторные поля A и B, их векторное произведение и ваш искомый ротор. Это будет очень громоздко и непрозрачно, но за то так можно "прочувствовать всю глубину" векторного анализа. За одно на лицо будет разница между мышлением человека и вычислениями на компьютере.

Oleg Zubelevich в сообщении #835061 писал(а):

а верна ли эта формула в случае неевклидовой метрики?

Вы имели в виду неевклидову геометрию (в смысле нелинейную, а не просто псевдоевклидову)? Думаю, там будет проблема уже с тем, что такое векторное произведение. Да и обычные покоординатные производные уже не являются "хорошими". Вводят так называемые ковариантные производные, результат действия которых на тензор так же является тензором.

[svv]

Oleg Zubelevich в сообщении #835061 писал(а):

интересно, а верна ли эта формула в случае неевклидовой метрики?

Верна. Вот в таком виде, например:

$$E^{ik\ell}\nabla_k(E_{\ell mn}a^m b^n)=a^i\;\nabla_k b^k-b^i\;\nabla_k a^k+b^k\;\nabla_k a^i-a^k\;\nabla_k b^i$$

Здесь $E^{ik\ell}=\frac 1{\sqrt{g}}\;\varepsilon^{ik\ell},\quad E_{\ell m n}=\sqrt{g}\;\varepsilon_{\ell m n}$ .

Можно исключить из записи геометрические структуры, которые фактически не используются. Индексы у $a$ и $b$ только верхние, и метрика нужна лишь для того, чтобы образовать $\sqrt{g}$, но это — единственная независимая компонента формы объема, достаточно задать лишь её. Связность тоже не нужна: символы Кристоффеля при раскрытии ковариантных производных либо сокращаются (в левой части и в выражении $b^k\;\nabla_k a^i-a^k\;\nabla_k b^i$ ), либо тоже выражаются через компоненту формы объема (в дивергенциях).

В конце концов останется

$$\frac 1{\sigma}\;\varepsilon^{ik\ell}\partial_k(\sigma\;\varepsilon_{\ell m n} a^m b^n)=a^i\frac {1}{\sigma}\partial_k(\sigma\;b^k)-b^i\frac 1{\sigma}\partial_k(\sigma\; a^k)+b^k\;\partial_k a^i-a^k\;\partial_k b^i$$

В присутствии метрики $\sigma=\sqrt g$.

[Oleg Zubelevich]

svv в сообщении #835234 писал(а):

Верна. Вот в таком виде, например:

$$E^{ik\ell}\nabla_k(E_{\ell mn}a^m b^n)=a^i\;\nabla_k b^k-b^i\;\nabla_k a^k+b^k\;\nabla_k a^i-a^k\;\nabla_k b^i$$

Здесь $E^{ik\ell}=\frac 1{\sqrt{g}}\;\varepsilon^{ik\ell},\quad E_{\ell m n}=\sqrt{g}\;\varepsilon_{\ell m n}$

$E$ это аксиальные тензоры
а что там у нас с ковариантными производными аксиального тензора?

[svv]

Ковариантная производная этой штуки, $E_{\ell m n}$, равна нулю.
Вот доказательство, которое я когда-то писал (для четырехмерного случая, но неохота править).

(Оффтоп)

$\nabla_{\mu}E_{\alpha\beta\gamma\delta}=\partial_{\mu}E_{\alpha\beta\gamma\delta}-\Gamma^{\lambda}_{\alpha\mu}E_{\lambda\beta\gamma\delta}-\Gamma^{\lambda}_{\beta\mu}E_{\alpha\lambda\gamma\delta}-\Gamma^{\lambda}_{\gamma\mu}E_{\alpha\beta\lambda\delta}-\Gamma^{\lambda}_{\delta\mu}E_{\alpha\beta\gamma\lambda}$
Рассмотрим сначала случай, когда в наборе $(\alpha\beta\gamma\delta)$ хотя бы два индекса совпадают, например, $\alpha$ и $\beta$. Тогда те слагаемые в правой части, в которые входят как $\alpha$, так и $\beta$, равны нулю в силу антисимметричности $E$. Остаются два слагаемых,

$$-\Gamma^{\lambda}_{\alpha\mu}E_{\lambda\beta\gamma\delta}-\Gamma^{\lambda}_{\beta\mu}E_{\alpha\lambda\gamma\delta}=-\Gamma^{\lambda}_{\alpha\mu}E_{\lambda\beta\gamma\delta}-\Gamma^{\lambda}_{\alpha\mu}E_{\beta\lambda\gamma\delta}=\Gamma^{\lambda}_{\alpha\mu}(E_{\beta\lambda\gamma\delta}-E_{\beta\lambda\gamma\delta})=0$$

Теперь рассмотрим случай, когда в наборе $(\alpha\beta\gamma\delta)$ все индексы различны. В каждом из четырех последних слагаемых
$-\Gamma^{\lambda}_{\alpha\mu}E_{\lambda\beta\gamma\delta}-\Gamma^{\lambda}_{\beta\mu}E_{\alpha\lambda\gamma\delta}-\Gamma^{\lambda}_{\gamma\mu}E_{\alpha\beta\lambda\delta}-\Gamma^{\lambda}_{\delta\mu}E_{\alpha\beta\gamma\lambda}$
индекс $\lambda$ стоит на месте одного из индексов $(\alpha\beta\gamma\delta)$. Хотя формально $\lambda$ пробегает все значения, фактически соответствующая компонента $E$ отлична от нуля лишь тогда, когда $\lambda$ принимает точно то значение, которое было у замещённого им индекса. Поэтому, условившись, что по индексам $(\alpha\beta\gamma\delta)$ нет суммирования, можно написать:
$\nabla_{\mu}E_{\alpha\beta\gamma\delta}=\partial_{\mu}E_{\alpha\beta\gamma\delta}-\Gamma^{\alpha}_{\alpha\mu}E_{\alpha\beta\gamma\delta}-\Gamma^{\beta}_{\beta\mu}E_{\alpha\beta\gamma\delta}-\Gamma^{\gamma}_{\gamma\mu}E_{\alpha\beta\gamma\delta}-\Gamma^{\delta}_{\delta\mu}E_{\alpha\beta\gamma\delta}=$
$=\partial_{\mu}E_{\alpha\beta\gamma\delta}-(\Gamma^{0}_{0\mu}+\Gamma^{1}_{1\mu}+\Gamma^{2}_{2\mu}+\Gamma^{3}_{3\mu})E_{\alpha\beta\gamma\delta}=(\partial_\mu\sqrt{-g}-\Gamma^\lambda_{\lambda\mu}\sqrt{-g})\varepsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}=0$

Вы, наверное, хотите спросить, почему в таком случае не вынести это за наблу? Исключительно из стремления сохранить в скобках узнаваемую структуру векторного произведения, вектор, а не тензор.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #835250 писал(а):

$E$ это аксиальные тензоры

Нет, это операторы "звёздочка Ходжа".

[Oleg Zubelevich]

svv в сообщении #835257 писал(а):

Вы, наверное, хотите спросить, почему в таком случае не

я спрашивал вот про что. Что такое ковариантная производная для аксиальных тензоров? (определение ковариантной производной для псевдотензоров у которых вес $\in\mathbb{Z}$ это понятно.) Ну тут наверное тоже понятно. Так, что вопрос снят.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #835266 писал(а):

Нет, это операторы "звёздочка Ходжа".

нет, это не яйцо, это яйцо в профиль