В глубинах космоса происходит взрыв...(9 класс)

[Deceiver]

В глубинах космоса происходит взрыв – неподвижная вначале конструкция массы M разлетается на три одинаковых куска, и полная энергия осколков равна E. Какую максимальную скорость может иметь один из осколков?
Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться. Скорости этих осколков будут одинаковыми?(и в таком случае они разлетается на углы по 120 градусов) И с чего начать решение?

[Munin]

Нет, скорости кусков могут быть произвольными, но наложены ограничения - закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Сложновата задача для 9 класса. Может, для продвинутых школьников?

[dovlato]

Решение очевидно: два осколка летят в какую-то одну сторону (параллельные векторы скоростей), а третий - в противоположную.
Две трети от Е останется как раз у третьего. Вопрос - как доказать.

[Ms-dos4]

См. параграф 16 (в конце) ЛЛ I или задачу 6 к параграфу 11 ЛЛ II

[ewert]

dovlato в сообщении #835042 писал(а):

Вопрос - как доказать.

Если по-школьному, то достаточно тождества параллелограмма. Если наибольший по величине вектор скорости -- диагональ паралеллограмма, сторонами которого являются минус две другие скорости, то сумма квадратов всех трёх скоростей -- это половинка квадрата "малой" диагонали плюс три вторых квадрата длины "большой" диагонали, т.е. квадрата наибольшей скорости. И эта сумма фиксирована; ну и всё.

[dovlato]

Да, действительно.. это доступно 9-классникам. Всё ладно и ничего лишнего.
Ну, а 1-курсник может доказать обобщение.
Если система состоит из точечных масс $m_k$, в системе центра масс имеющих скорости $\vec v_k$, то $\sum{m_k\vec v_k}=0$.
Пусть внутренняя энергия масс $\sum{m_k\vec v_k^2/2}=U$.
Пусть ещё скорость центра масс равна $\vec V$, а сумма масс есть $M$.
Так вот, в лаборатории полная механическая энергия равна $E=MV^2/2+U$.
Отсюда следует, что при распаде максимум энергии одной частицы достигается,
когда оставшаяся часть "абсолютно холодная": $U=0$.

[ewert]

dovlato в сообщении #835173 писал(а):

Отсюда следует, что при распаде максимум энергии одной частицы достигается,
когда оставшаяся часть "абсолютно холодная": $U=0$.

Тут вроде бы есть формальный пробел: а откуда следует, что в процессе "охлаждения" скорость какой-либо из охлаждающихся частиц не превысит скорость выделенной?...

(в трёхчастичном случае этого пробела нет)

[dovlato]

Формальный ответ, наверное тот, что в задаче процесс и не предполагается; просто по-школьному "рисуется" готовое желаемое распределение скоростей.
Несколько более честный ответ, возможно такой: НЕ назначать заранее выделенную частицу - пущай они сами между собой разбираются..
В общем, не знаю)).

[ewert]

(Оффтоп)

dovlato в сообщении #835286 писал(а):

НЕ назначать заранее выделенную частицу - пущай они сами между собой разбираются..

Так не выйдет же -- они там меж собою будут до бесконечности разбираться, периодически зацикливаясь.

Стыдно сказать, но мне лень было в этом (общем) случае разбираться, хотя немножко и задумывался. Интуитивно-то всё ясно; и наверняка при сознательном подходе всё просто; да вот лень сознательно.

[dovlato]

А Цермелло тут не поможет? Кажется, согласно ему, система за конечное время должна проходить через все свои возможные состояния (?)

[ewert]

dovlato в сообщении #835299 писал(а):

А Цермелло тут не поможет?

Нет, конечно. Он тут попросту неприличен. Вопрос-то ведь явно элементарен; мне лично он всего лишь лень.

[Deceiver]

Спасибо участвующим в обсуждении этой задачи.
Но не могли бы вы проверить, сойдет ли это за решение задачи?

[DimaM]

Deceiver в сообщении #835669 писал(а):

Но не могли бы вы проверить, сойдет ли это за решение задачи?

По-моему, не сойдет. Потому как ошибочно.
Выше в теме написано правильное решение, надо лишь поднять глаза и прочитать.

[Deceiver]

DimaM в сообщении #835683 писал(а):

Выше в теме написано правильное решение, надо лишь поднять глаза и прочитать.

Я его не совсем понял (точнее, о каком тождестве идет речь, так как его, похоже, мы точно не учили). Почему сумма квадратов всех скоростей равна половине квадрата "малой" диагонали плюс три вторых квадрата длины "большой" диагонали?

[nikvic]

Задачу удобнее понимать как поиск минимума суммы квадратов при заданной максимальной скорости.

Треугольник, понятно, вырожденный.
И равнобедренный
Т.е. половина энергии - главному кусочку, по четверти - остальным.
Две трети - главному!