В матлогике рассматриваются два уровня: синтаксический (доказательства) и семантический (модели). На синтаксическом уровне определяются и рассматриваются понятия терма, формулы и доказательства. На семантическом уровне вводится интерпретация термов и формул, истинность формул, модель теории, и эти понятия связываются с синтаксическими.
Так вот, формуле логики первого порядка с свободными переменными

на семантическом уровне соответствует

-арный предикат (или отношение) - функция, которая по

аргументам определяет, истинна или ложна эта формула.
Соответственно, когда на синтаксическом уровне мы переходим от формулы

к, например,

, на семантическом уровне мы получаем отображение, которое каждому предикату от одной переменной сопоставляет одно истинностное значение (истинное, если

истинна для всех

из области изменения перенной

, и ложное иначе). Вот такие отображения и называются иногда кванторами, наряду с их синтаксическими параллелями - символами

,

и т.п.